2.2 Liikeyhtälön muodostaminen

Dynamiikan perusprobleema on ennustaa kappaleen liiketila siihen vaikuttavien voimien ja kappaleen massan perusteella.

Ensin päättelemme kappaleeseen vaikuttavat voimat. Tämän jälkeen saamme kiihtyvyyden 2. peruslain mukaisesti:
a = S F / m.

Kun kappaleen alkunopeus ja kiihtyvyys tunnetaan ja kiihtyvyys on tasaista, voidaan loppunopeus määrittää kaavalla
v = v₀ + at .
Jos taas kiihtyvyys ei ole vakio, saamme nopeuden muutoksen integroimalla kiihtyvyyden kyseisellä aikavälillä

Vastaavasti matkan muutos saadaaan yleisessä tilanteessa integroimalla nopeus kyseisellä aikavälillä:

Toisaalta nopeus on matkan derivaatta ajan suhteen :

ja kiihtyvyys on nopeuden derivaatta ajan suhteen:

Esim 1 Kappaleen nopeus (m/s) muuttuu ajan funktiona kuten alla. Määritä
a) kappaleen kulkema matka aikavälillä 0 s ... 1,5 s
b) kappaleen kiihtyvyys hetkellä 1,1 s.

a) Pinta-ala välillä 0 s ... 1,5 s on 6,4 joten matka s = 6,4 m.
b) Tangentin kulmakerroin kohdassa t = 1,1 s on -2,2 joten a = -2,2 m/s² .

Esim 2. Alumiinikappale on upotettu veteen , mikä on kappaleen kiihtyvyys sillä hetkellä kun kappale päästetään liikkeelle?
Pohdi aluksi, mitkä ovat palloon vaikuttavat voimat.

Palloon vaikuttavat
- Maan vetovoima
- noste ylöspäin
- veden vastus, joka kasvaa pallon nopeuden kasvaessa, kunnes saavuttaa lopulta vakioarvon.

Liikeyhtälö on alkuhetkellä

ma = mg - N eli rVa = r_AVg - r_VVg

josta a = (1 - r_V/r_A)g = 6,2 m/s².

Esim 3. Auto on lähdössä vetämään peräkärryä. Mieti, mitkä voimat vaikuttavat autoon ja peräkärryyn levossa. Tarkista painikkeesta.
Kun auto lähtee liikkeelle syntyy vaakasuoria voimia. Mieti, mitkä ne ovat.
Paina sitten "nuoli oikealle"-painikkeesta niin auto kiihdyttää jonkin aikaa ja näet autoon ja peräkärryyn vaikuttavat vaakasuuntaiset voimat.

Eräällä hetkellä autovya kiihdyttävä kitkavoima on 2,0 kN ja autoon vaikuttava liikevstusvoima 0,2 kN, jolloin auton kiihtyvyys on 1,0 m/s². Auton massa on 1000 kg ja peräkärryn massa 200 kg. Laske voima, jolla auto vetää kärryä.

Olkoon M = auton massa, m = vaunun massa
F_va = autoon kohdistuva liikevastus, F_vv = peräkärryyn kohdistuva liikevastus.
Teemme koko systeemin liikeyhtälön:

F -F_va -F_vv = (M+m)a
ja saamme F_vv = F -F_va - (M+m)a = 2,0 kN - 0,2 kN - 1200kg ^. 1,0 m/s² = 0,6 kN.

Nyt auton kärryyn kohdistama vetovoima T saadaan yhtälöstä
T - F_vv = ma eli T =F_vv +ma = 0,6 kN + 200kg ^.1,0 m/s² = 0,8 kN.

Esim 4. Kappaleen kulkema matka riippuu ajasta yhtälön s = 2t² + 4t +3 mukaan, missä t on aika sekunteina ja s on matka metreinä. Kuinka suuri on kappaleen kiihtyvyys hetkellä t = 1 s ?

Derivoimalla saamme v = 4t +4 ja uudestaan derivoimalla a = 4.

Siis a = 4 m/s².