Suhde ja verranto

Ongelma
Mika ja Jari voittivat lotossa 330 000 mk puhtaana käteen. Jari oli maksanut 20 mk ja Mika oli sijoittanut lottoruudukkoon kolme kertaa niin paljon kuin Jari.

Miten voittosumma oli jaettava poikien kesken?

Ratkaisu
Kun voittosumma jaetaan oikeudenmukaisesti, se on jaettava samassa suhteessa missä pojat maksoivat lottoruudukosta.





Jarin osuus voittosummasta on siis neljäsosa eli 82 500 mk ja Mikan loput eli 247 500 mk.

Teoriaa
Lauseketta


kutsutaan nimellä suhde. Esimerkin luku 20 mk on suhteen edellinen jäsen ja luku 60 mk suhteen jälkimmäinen jäsen. Suhteen arvo on tässä tapauksessa 1/3. Huomaa, että yksiköt ovat supistuneet pois.

Jos suhteen jäsenet eivät ole samaa yksikköä, on ne ennen arvon laskemista muutettava toisiaan vastaaviksi:

2 km : 500 m = 2000 m : 500 m = 4.


Yhtälöä, jossa kaksi suhdetta on merkitty yhtä suuriksi kutsutaan verrannoksi.


Verranto voidaan kirjoittaa myös muotoon:

20 mk : 60 mk = 1 : 3


Luku 20 mk on verrannon ensimmäinen jäsen, 60 mk on verrannon toinen, 1 kolmas ja 3 neljäs jäsen. Luvut 20 mk ja 3 ovat verrannon äärimmäiset ja 60 mk ja 1 keskimmäiset jäsenet.

Verrannon erikoinen ominaisuus on se, että sen äärimmäisten jäsenten tulo on yhtä suuri kuin sen keskimmäisten jäsenten tulo ts. voidaan tehdä "ristiin kertominen":

20 mk · 3 = 60 mk · 1


Verrannosta voidaan yksi jäsen ratkaista, jos kolme muuta tunnetaan:


Ratkaistaan verranto kertomalla ristiin:

50 m · x = 20 m · 18 m |: 58 m




Suoraan ja kääntäen verrannollisuus
Automatkalla suuremmalla nopeudella ajava pääsee pitemmälle tai taittaa saman matkan lyhyemmässä ajassa kuin hitaammin ajava.

Matka ja nopeus ovat suoraan verrannollisia ja nopeus ja aika kääntäen verrannollisia suureita.

Esimerkki
a) Jani ajoi 440 km keskinopeudella on 80 km/h Kuinka pitkän matkan ehtii kulkea ajaja, jonka keskinopeus on 95 km/h?

b) Montako minuuttia aikaisemmin on perillä ajaja, jonka nopeus on 95 km/h kuin ajaja, joka nopeudella 80 km/h kuluttaa matkaan 3 h?

Ratkaisu
Tehdään taulukot:


Matka ja nopeus ovat suoraan verrannolliset ja aika ja nopeus kääntäen. Kirjoitetaan verrannot:


Molemmissa verrannoissa oikean puolen yksiköt supistuvat, joten verrannot voi kirjottaa muotoon:


Ratkaistaan verrannot:

a) 80 s = 440 · 95

s 523 km


b) 95 t = 3 · 80

t 2,53 h = 2 h 32 min

eli 3 h - 2 h 32 min = 28 min


Vastaus
a) Suuremmalla nopeudella pääsi 523 km

b) Suuremmalla nopeudella oli 28 min aikaisemmin perillä.

HUOM.!
Suoraan verrannollisuus: mitä suurempi nopeus, sitä pidempi matka.




Kääntäen verrannollisuus: mitä suurempi nopeus, sitä lyhyempi aika.


Pikatehtäviä
Suhteen arvo

Onko oikein?

Laske puuttuva jäsen

Mittakaava