3: Geometria
Esimerkit

Esimerkki 1    Kolmiossa kahden sivun pituudet ovat 3 ja 7. Näistä pidemmän sivun vastainen kulma on $ \mathsf{140^\circ}$. Ratkaistaan muiden kulmien suuruudet ja tuntemattoman sivun pituus.

Merkitään muita kulmia $ \mathsf{\alpha}$ ja $ \mathsf{\beta}$ sekä tuntematonta sivua $ \mathsf{x}$. Sinilauseen avulla voidaan nyt kirjoittaa

$\displaystyle \mathsf{\frac{\sin 140}{7}=\frac{\sin \alpha}{3}=\frac{\sin \beta}{x}}$

Nyt voidaan ratkaista kulma $ \mathsf{\alpha}$.

$\displaystyle \mathsf{\sin \alpha=3\cdot \frac{\sin 140}{7} \Rightarrow \alpha \approx 15,99^\circ}$

Koska kolmion kulmien summa on $ \mathsf{180 ^\circ}$, on saadaan kulman $ \mathsf{\beta}$ arvo laskettua.

$\displaystyle \mathsf{\beta=180^\circ-140^\circ -\alpha=24,01^\circ}$

Sivun $ \mathsf{x}$ pituus ratkaistaan sinilauseen avulla.

$\displaystyle \mathsf{\frac{\sin 140}{7}=\frac{\sin \beta}{x}\Rightarrow x=\frac{7 \sin \beta}{\sin 140}=4,43^\circ}$

Kulmien suuruudet ovat noin $ \mathsf{16,0^\circ}$ ja $ \mathsf{24^\circ}$ sekä kolmannen sivun pituus noin 4,4.

Esimerkki 2    Tutkatornin ja lentokoneen valot näkyvät lennonjohtotorniin suunnista, joiden välinen kulma on 22º. Lentokone ilmoittaa olevansa 4,5 km päässä tutkatornista, jonka etäisyys lennonjohtotornista on 5,5 km. Laske lentokoneen etäisyys lennonjohtotornista.

lentokone

$ \mathsf{\alpha = 22^\circ}$

Ratkaistaan sinilauseella kulman B suuruus.

$\displaystyle \mathsf{\frac{4,5 km}{\sin 22^\circ}= \frac{5,5 km}{\sin B} \Rightarrow B=27^\circ}$

Koska kolmion kulmien summa on aina $ \mathsf{180 ^\circ}$, on kulman C suuruus $ \mathsf{131^\circ}$.

X:n pituus saadaan ratkaistua sinilauseella.

$\displaystyle \mathsf{\frac{x}{\sin C}=\frac{4,5 km}{\sin 22^\circ}\Rightarrow x=9,0 km}$

Lentokone on 9,1 km päässä lennonjohtotornista.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Peruskäsitteitä
Kolmio
Sinilause
Esimerkit
Tehtävät
Kosinilause
Nelikulmio
Monikulmio
Ympyrä
Yhtenevyys
Yhdenmuotoisuus
Särmiö, lieriö, kartio
Pallo
Todistustehtäviä
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet