3: Geometria
Esimerkit

Esimerkki 1    Kolmion kahden sivun pituudet ovat 3,5 ja 5,0. Näiden sivujen välinen kulma on $ \mathsf{28^\circ}$. Lasketaan kosinilauseen avulla kolmannen sivun pituus.

Kun tuntematonta sivua merkitään $ \mathsf{x}$:llä Kosinilauseella saadaan:

$\displaystyle \mathsf{x^2=3,5^2+5,0^2-2\cdot 3,5\cdot 5,0 \cos 28^\circ \Rightarrow x\approx 6,3}$

Esimerkki 2    Olkoon kolmion sivujen pituudet 6, 8 ja 11. Ratkaistaan kolmion kulmat.

Kosinilauseen avulla voidaan kirjoittaa:

$\displaystyle \mathsf{6^2 = 8^2 + 11^2 - 2\cdot 8\cdot 11 \cos \alpha }$

$\displaystyle \mathsf{\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-6^2+8^2+11^2}{176}}$

$\displaystyle \mathsf{\Rightarrow \alpha\approx 32,16}$

Valitsemalla kaavaan toinen sivujen järjestys saadaan:

$\displaystyle \mathsf{8^2 = 6^2 + 11^2 - 2\cdot 6\cdot 11 \cos \beta }$

$\displaystyle \mathsf{\Rightarrow \cos \beta =\frac{-8^2+6^2+11^2}{132}}$

$\displaystyle \mathsf{\Rightarrow \alpha\approx 45,21}$

Kolmion kulmien summa on $ \mathsf{180 ^\circ}$, joten kolmannen kulman suuruus on $ \mathsf{180^\circ-\alpha-\beta\approx 102,6}$.

Kolmion kulmien suuruudet ovat siis noin $ \mathsf{32,2^\circ}$, $ \mathsf{45,2^\circ}$ ja $ \mathsf{102,6}$.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Peruskäsitteitä
Kolmio
Sinilause
Kosinilause
Esimerkit
Tehtävät
Nelikulmio
Monikulmio
Ympyrä
Yhtenevyys
Yhdenmuotoisuus
Särmiö, lieriö, kartio
Pallo
Todistustehtäviä
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet