3: Geometria
Esimerkit

Esimerkki 1    Suunnikkaan muotoisen metsäpalstan läpi vedetään lävistäjien suuntaiset tiet. Todistetaan, että tiet puolittavat toisensa.


Oletus: nelikulmio ABCD on suunnikas
Väitös: AE = CE ja BE = DE

Todistus:

$ \mathsf{\triangle ABE \cong \triangle CDE}$ KKS-lauseen nojalla

$ \mathsf{1^\circ \; \angle AEB = \angle DEC}$ (ristikulmat)
$ \mathsf{2^\circ \; EAB = DCE}$ (samankohtaiset kulmat, $ \mathsf{BA \parallel CD}$)
$ \mathsf{3^\circ \; BA = CD}$ (suunnikas)

$ \mathsf{\Rightarrow AE = CE}$ ja $ \mathsf{BE = DE}$ (vastinsivuja)

Esimerkki 2    Salmiakkiaakkonen on neljäkkään muotoinen. Osoitetaan, että sen lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.


Oletus: nelikulmio $ \mathsf{ABCD}$ on neljäkäs
Väitös: $ \mathsf{AC \perp BD}$

Todistus:

$ \mathsf{\triangle CDE \cong \triangle CEB}$ SSS-lauseen nojalla

$ \mathsf{1^\circ CE}$ yhteinen
$ \mathsf{2^\circ CD = CB}$ (neljäkäs)
$ \mathsf{3^\circ DE = BE}$ (suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa)

$ \mathsf{\Rightarrow \triangle DEC = \triangle CEB \Rightarrow \triangle DEC = 90^\circ}$

Esimerkki 3    Todistetaan, että janan keskinormaalin jokainen piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä.


Oletus: $ \mathsf{AC = BC}$ ja $ \mathsf{ACD = 90^\circ}$
Väitös: $ \mathsf{DA = DB}$

$ \mathsf{\triangle ACD \cong \triangle BCD}$ SKS-lauseen nojalla

$ \mathsf{1^\circ CD}$ yhteinen
$ \mathsf{2^\circ ACD = 90^\circ}$ (oletus)
$ \mathsf{3^\circ AC = BC}$ (oletus)

$ \mathsf{\Rightarrow DA = DB}$

Esimerkki 4    Osoitetaan, että kulmanpuolittajan jokainen piste on yhtä etäällä kulman kyljistä.


Oletus: $ \mathsf{OP}$ on kulman $ \mathsf{AOB}$ puolittaja
Väitös: $ \mathsf{AP = PB}$

$ \mathsf{\triangle APO \cong \triangle BPO}$ KKS-lauseen nojalla

$ \mathsf{\angle OPB = \angle OAP = 90^\circ}$
$ \mathsf{\angle AOP = \angle POB}$ (oletus)
$ \mathsf{OP}$ yhteinen

$ \mathsf{\Rightarrow AP = PB}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Peruskäsitteitä
Kolmio
Sinilause
Kosinilause
Nelikulmio
Monikulmio
Ympyrä
Yhtenevyys
Esimerkit
Tehtävät
Yhdenmuotoisuus
Särmiö, lieriö, kartio
Pallo
Todistustehtäviä
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet