3: Geometria
Peruskäsitteitä

Yksinkertaisin geometrinen olio on piste. Sitä voidaan pitää geometrian perusobjektina siinä mielessä, että kaikkien geometristen kuvioiden voidaan ajatella koostuvan pisteistä. Pisteellä ei ole ulottuvuutta, vaan se määrää ainoastaan yksikäsitteisen paikan suoralla, tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa. Pisteet nimetään isoilla kirjaimilla, esimerkiksi piste $ \mathsf{A}$.

Kahden pisteen kautta voidaan piirtää yksi ja vain yksi suora. Kaksi pistettä määrää siis suoran. Suorat nimetään joko pienillä kirjaimilla, esimerkiksi suora $ \mathsf{l}$, tai sitten päätepisteiden mukaan, esimerkiksi suora $ \mathsf{AB}$.

Suora

Tason määrää kolme sellaista pistettä, jotka kaikki eivät ole samalla suoralla. Tason määrää myös suora ja sen ulkopuolella oleva piste. Tasoa merkitään isolla kirjaimella, esimerkiksi taso $ \mathsf{T}$.

Tasot

Kahden pisteen suorasta erottama osa on jana. Janan keskinormaali on janan keskipisteen kautta kulkeva suora, joka on kohtisuorassa janaa vastaan. Janan keskinormaalin jokainen piste on yhtä kaukana janan päätepisteistä. Tämä voidaan osoittaa todeksi kolmioiden yhtenevyyden avulla.

Suoralla oleva piste puolestaan jakaa suoran kahteen puolisuoraan. Puolisuoran alkupiste ja toinen puolisuoralla oleva piste määräävät puolisuoran. Kaksi samasta pisteestä alkavaa puolisuoraa jakavat tason kahteen alueeseen, joita kutsumme kulmiksi. Puolisuorien alkupiste on kulman kärki ja puolisuorat ovat kulman kylkiä.

Kulma voidaan nimetä kummaltakin kyljeltä valittujen pisteiden ja kärkipisteen mukaan tai pelkästään kärkipisteen mukaan, esimerkiksi kulma $ \mathsf{ABC}$ tai kulma $ \mathsf{B}$. Kulman merkitsemisessä käytetään usein myös kreikkalaisia kirjaimia $ \mathsf{\alpha}$, $ \mathsf{\beta}$, $ \mathsf{\gamma}$ jne.

kulmat

Kulmia luokitellaan niiden koon perusteella:

- Täysikulma $ \mathsf{\alpha = 360 ^\circ}$
- Oikokulma $ \mathsf{\alpha = 180 ^\circ}$
- Suora kulma $ \mathsf{\alpha = 90 ^\circ}$
- Nollakulma $ \mathsf{\alpha = 0^\circ}$
- Teräväkulma $ \mathsf{0 ^\circ < \alpha < 90 ^\circ}$
- Tylppäkulma $ \mathsf{90 ^\circ < \alpha < 180 ^\circ}$

Kahden kulman summa on sen kulman suuruus, joka saadaan asettamalla yhteenlaskettavat kulmat vierekkäin siten, että niiden kärjet ja erinimiset kyljet yhtyvät. Kutsumme näitä kahta kulmaa komplementtikulmiksi, jos niiden summa $ \mathsf{90 ^\circ}$, suplementtikulmiksi, jos niiden summa on $ \mathsf{180 ^\circ}$, ja eksplementtikulmiksi, jos niiden summa on $ \mathsf{360 ^\circ}$.

Kulman puolittaja on kulman kärjen kautta kulkeva suora, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi. Kulman puolittajan muodostaa ne pisteet, jotka ovat yhtä etäällä kulman kyljistä tai niiden jatkeista. Tämä voidaan osoittaa todeksi kolmioiden yhtenevyyden avulla.

kulmanpuolittaja

Ristikulmia ovat ne kahden suoran leikkauspisteeseen muodostuvat vastakkaiset kulmat, joiden samannimiset kyljet muodostavat suoran. Ristikulmat ovat yhtä suuret.

Ristikulmat

Suoran leikatessa kahta muuta suoraa muodostuu samankohtaisia kulmia. Nämä kaksi muuta suoraa ovat keskenään yhdensuuntaiset, jos ja vain jos muodostuneet samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret.

Samankohtaiset kulmat


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Peruskäsitteitä
Esimerkit
Tehtävät
Kolmio
Sinilause
Kosinilause
Nelikulmio
Monikulmio
Ympyrä
Yhtenevyys
Yhdenmuotoisuus
Särmiö, lieriö, kartio
Pallo
Todistustehtäviä
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet