3: Geometria
Särmiö, lieriö, kartio

Geometria ei rajoitu pelkästään tasokuvioihin, vaan avaruusgeometriassa käsitellään erilaisia kolmiulotteisia kappaleita. Tällaisilla kappaleilla on X- ja Y-ulottuvuuksien lisäksi vielä syvyys eli Z-ulottuvuus. Arkipäiväisistä muodoista esimerkiksi kuutio ja pallo ovat kolmiulotteisia kappaleita.

Suorakulmainen särmiö

kuutio


Suorakulmaisen särmiön särmien ollessa $ \mathsf{a}$, $ \mathsf{b}$ ja $ \mathsf{c}$ on avaruuslävistäjälle $ \mathsf{d}$, pinta-alalle $ \mathsf{A}$ ja tilavuudelle $ \mathsf{V}$ voimassa seuraavat kaavat:

$\displaystyle \mathsf{d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\displaystyle \mathsf{A=2(ab+ac+bc)}$

$\displaystyle \mathsf{V=abc}$

Kuutio

Kuutio on suorakulmaisen särmiön erikoistapaus. Kuution kaikki särmät ovat yhtä pitkiä. Särmän pituuden ollessa s saadaan kuution sivutahkon lävistäjä $ \mathsf{a}$, avaruuslävistäjä $ \mathsf{d}$, pinta-ala $ \mathsf{A}$ ja tilavuus $ \mathsf{V}$ kaavoista:

$\displaystyle \mathsf{a=s\sqrt{2}}$

$\displaystyle \mathsf{d=\sqrt{s\sqrt{3}}}$

$\displaystyle \mathsf{A=5s^2}$

$\displaystyle \mathsf{V=s^3}$

Lieriö

lieriö


Lieriön tilavuus $ \mathsf{V}$ saadaan pohjan alan $ \mathsf{A}$ ja korkeuden $ \mathsf{h}$ tulona. Kokonaisala voidaan laskea pohjan alojen ja vaipan alan summana.

$\displaystyle \mathsf{V=Ah}$

Suora ympyrälieriö on lieriön erikoistapaus, jonka vaipan ala $ \mathsf{A_v}$, kokonaisala $ \mathsf{A_{kok}}$ ja tilavuus saadaan kaavoista:

$\displaystyle \mathsf{A_v = 2\pi r h}$

$\displaystyle \mathsf{A_{kok} = A_v + 2\pi r^2=2\pi r(r+h)}$

$\displaystyle \mathsf{V=\pi r^2 h}$

Kartio

kartio


Kartion tilavuus on kolmannes vastaavan lieriön tilavuudesta.

$\displaystyle \mathsf{V=\frac{1}{3}Ah}$

Suorassa ympyräkartiossa pohjana on ympyrä. Lisäksi huipun ja pohjaympyrän kautta kulkeva akseli on kohtisuorassa pohjaa vastaan. Suora ympyräkartio on kartion erikoistapaus, jonka vaipan ala $ \mathsf{A_v}$ ja tilavuus $ \mathsf{V}$ saadaan seuraavista kaavoista, kun pohjaympyrän säde on $ \mathsf{r}$ ja kartion korkeus $ \mathsf{h}$.

$\displaystyle \mathsf{A_v=\pi r s}$

$\displaystyle \mathsf{V = \frac{1}{3} \pi r^2 h}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Peruskäsitteitä
Kolmio
Sinilause
Kosinilause
Nelikulmio
Monikulmio
Ympyrä
Yhtenevyys
Yhdenmuotoisuus
Särmiö, lieriö, kartio
Esimerkit
Tehtävät
Pallo
Todistustehtäviä
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet