3: Geometria
Kolmio

Kolmioita voidaan luokitella joko yhtä pitkien sivujen lukumäärän tai suurimman kulman laadun mukaan. Yhtäpitkien sivujen lukumäärän mukaan kolmiot jaetaan kolmeen ryhmään: tasasivuisiin, tasakylkisiin ja muihin. Tasasivuisten kolmioiden kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Tasakylkisillä kolmioilla on vähintään kaksi yhtä pitkää sivua. Kolmanteen ryhmään kuuluvien kolmioiden kaikki sivut ovat eripituisia.

kolmiot

Suurimman kulman laatuun perustuvassa luokituksessa kolmiot jaetaan terväkulmaisiin (kulma $ \mathsf{\alpha < 90^\circ}$), suorakulmaisiin (kulma $ \mathsf{\alpha = 90 ^\circ}$) ja tylppäkulmaisiin (kulma $ \mathsf{\alpha > 90^\circ}$).

Kolmiot

Kolmion kulmien summa on $ \mathsf{180 ^\circ}$ ja tästä seuraa, että kolmion kahden kulman summa on yhtä suuri kuin kolmannen kulman vieruskulma.

Kolmion keskijanat eli mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa keskijanat kärjestä lukien osiin suhteessa 2:1.

Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Kulmanpuolittaja jakaa vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.

Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.

Kolmion pinta-ala

- $ \mathsf{A = \frac{1}{2} a h}$

- $ \mathsf{A = \frac{1}{2}ab\sin\alpha}$

kolmion ala

- $ \mathsf{A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

(Heronin kaava, p tarkoittaa kolmion piirin puoliskoa)

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat

- Kulman sini $ \mathsf{\sin \alpha = \frac{a}{c}}$

- Kulman kosini $ \mathsf{\cos \alpha = \frac{b}{c}}$

- Kulman tangetti $ \mathsf{\tan \alpha = \frac{a}{b}}$

suorakulmainen kolmio

Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden neliö. Tätä kutsutaan Pythagoraan lauseeksi.

Pythagoraan lause


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Peruskäsitteitä
Kolmio
Esimerkit
Tehtävät
Sinilause
Kosinilause
Nelikulmio
Monikulmio
Ympyrä
Yhtenevyys
Yhdenmuotoisuus
Särmiö, lieriö, kartio
Pallo
Todistustehtäviä
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet