3: Geometria
Ympyrä

Ympyrä muodostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat samalla etäisyydellä (säde) kiinteästä pisteestä (keskipiste). Jänne on kahden ympyrän pisteen välinen jana. Jänteen erikoistapaus on halkaisija, joka on keskipisteen kautta kulkeva jänne.

ympyrä

Koska kaikki ympyrät ovat keskenään yhdenmuotoisia, ei suhde (ympyrän kehän pituus) / (halkaisijan pituus) riipu ympyrän koosta. Tätä suhdetta merkitään kreikkalaisella kirjaimella $ \mathsf{\pi}$ (pii). Pii on irrationaaliluku, jonka viisidesimaalinen likiarvo on 3,14159.

Ympyrän kehän pituus on $ \mathsf{p = \pi d = 2\pi r}$
Ympyrän pinta-ala on $ \mathsf{A = \pi r^2}$

Kulmaa, jonka kärki sijaitsee ympyrän keskipisteessä, kutsutaan keskuskulmaksi. Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrältä kaaren ja ympyrän sisältä sektorin. Koska kaarta vastaavan keskuskulman suuruus määrää kaaren pituuden ja ympyrän kehän pituuden suhteen, on sovittu, että kaaren asteluku on sama kuin sitä vastaavan keskuskulman asteluku.

keskuskulma

Sektorin ala on suoraan verrannollinen keskukulmaan. Koko ympyrän rajaama alue on $ \mathsf{360 ^\circ}$:n keskuskulmaa vastaava sektori, joten kun tunnetaan ympyrän säde $ \mathsf{r}$ ja keskuskulma $ \mathsf{\alpha}$, niin sektorin ala on

$\displaystyle \mathsf{A=\frac{\alpha}{360^\circ} \pi r^2}$

Ympyrän kehäkulma on sellainen kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä, ja jonka kyljet ovat ympyrän jänteitä. Kehäkulman suuruus on puolet samaa kaarta vastaavan keskuskulman suuruudesta.

kehä_ja_keskuskulma

Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora eli $ \mathsf{90 ^\circ}$, koska sitä vastaava keskuskulma on oikokulma eli $ \mathsf{180 ^\circ}$.

puoliympyrän kehäkulma

Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuret.

Ympyrän tangentti on suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä. Se siis sivuaa ympyrää. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan ja sen etäisyys keskipisteestä on säteen suuruinen. Ympyrän ulkopuolisen pisteen kautta voidaan ympyrälle piirtää kaksi tangenttia, joiden välinen kulma on tangenttikulma.

tangetti

Tangenttikulman kyljet mitattuina kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät. Tangenttikulman kärjen ja ympyrän keskipisteen yhdysjana puolittaa tangettikulman sekä sitä vastaavan keskuskulman ja kaaren. Edellä mainitut lauseet voidaan todistaa oikeaksi kolmioiden yhtenevyydellä. Lisäksi tangentttikulma ja sitä vastaava keskukulma ovat toistensa suplementtikulmia.


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Peruskäsitteitä
Kolmio
Sinilause
Kosinilause
Nelikulmio
Monikulmio
Ympyrä
Esimerkit
Tehtävät
Yhtenevyys
Yhdenmuotoisuus
Särmiö, lieriö, kartio
Pallo
Todistustehtäviä
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet