6: Todennäköisyys ja tilastot
Esimerkit

Esimerkki 1    Funktio $ \mathsf{f(x)}$ määritellään seuraavasti:


$ \mathsf{f(x)}$ = 0 muulloin Etsitään se vakion $ \mathsf{a}$ arvo, jolla funktio f voi olla tiheysfunktio.

Tiheysfunktion määritelmästä seuraa, että annetun funktion kuvaajan tulee välillä $ \mathsf{\underline{x}\in [0,2]}$ rajoittaa pinta-ala, jonka suuruus on 1.


Todetaan, että kuvaaja on nouseva suora, jonka kulmakerroin on $ \mathsf{\frac{1}{3}}$. Tehtävänä on siis määrittää vakiotermin $ \mathsf{a}$ arvo siten, että oheisessä kuvassa esitetty ala on 1. Ala muodostuu suorakulmiosta, jonka toisen sivun pituus on 2 ja toisen sivun $ \mathsf{a}$ sekä kolmiosta, jonka kanta on 2 ja korkeus $ \mathsf{\frac{2}{3}+a-a}$. Alan lauseke on siis

$\displaystyle \mathsf{A=2a+\frac{2\cdot(\frac{2}{3}+a-a)}{2}}=2a+\frac{2}{3}$

Merkitsemällä tämän lausekkeen arvo ykköseksi, saadaan:

$\displaystyle \mathsf{A=1 \Rightarrow 2a+\frac{2}{3}=1 \Rightarrow a=\frac{1}{6}}$

Funktio $ \mathsf{f}$ voi olla satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ tiheysfunktio, kun $ \mathsf{f(\underline{x})=\frac{1}{3}\underline{x}+\frac{1}{6}}$.

Esimerkki 2    Olkoon satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ tiheysfunktio

$\displaystyle \mathsf{ f(\underline{x})= \left\{
\begin{array}{ll}
\mathsf{\fr...
... } \mathsf{x\in ]0,5]}\\
\mathsf{0} & \textsf{muulloin}
\end{array}\right.
}
$

Määritetään $ \mathsf{P(-1\leq \underline{x} \leq 1}$ eli todennäköisyys, jolla satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ arvo on välillä $ \mathsf{[-1,1]}$. Tämä tapahtuu laskemalla kertymäfunktion $ \mathsf{F}$ arvojen $ \mathsf{F(1)}$ ja $ \mathsf{F(-1)}$ erotus. Näitä arvoja vastaavat oheisten kuvien pinta-alat.

    

Ensimmäisessä tapauksessa pinta-ala muodostuu kolmion ja nelikulmion yhteenlasketusta alasta. Nelikulmion ala saadaan vähentämällä pystyakselin oikeanpuoleisen kolmion alasta pieni kolmio, jonka rajaa suora $ \mathsf{\underline{x}=1}$. Toisessa tapauksessa kysymyksessä on kolmion ala. Kirjoitetaan alojen eli kertymäfunktion arvojen lausekkeet.

$\displaystyle \mathsf{F(1)=
\frac{ 3\cdot \frac{1}{4}}{2 } +
\frac{ 5\cdot \fr...
...-\frac{1}{20} \cdot \left(-1 \right)+\frac{1}{4}\right) }{2 } =
\frac{ 3}{5 }
}$

$\displaystyle \mathsf{F(-1)=\frac{2\cdot(\frac{1}{2}\cdot(-1)+\frac{1}{4})}{2}=\frac{1}{6}}$

Kysytty todennäköisyys saadaan näiden erotuksena eli

$\displaystyle \mathsf{P(-1\leq x \leq 1)=\frac{3}{5}-\frac{1}{6}=\frac{13}{30}\approx 0.43}$

Tätä vastaava pinta-ala on esitetty oheisessa kuvassa.

Huom! Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktion $ \mathsf{f}$ arvo ei ilmaise todennäköisyyttä. Toisin kuin diskreetillä satunnaismuuttujalla jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys kaikilla a:n arvoilla.

Esimerkki 3    Satunnaisfunktion tiheysfunktio on

$\displaystyle \mathsf{ f(\underline{x})= \left\{
\begin{array}{ll}
\mathsf{0} ...
...< x \leq 2}\\
\mathsf{0} & \textsf{kun } \mathsf{x > 2}
\end{array}\right.
}
$

Määritetään tätä vastaava kertymäfunktio $ \mathsf{F(\underline{x})}$. Kertymäfunktion arvo ilmoittaa todennäköisyyden $ \mathsf{P(\underline{x}\leq x}$ eli oheisen kuvan mukaisen pinta-alan $ \mathsf{A}$.


Todetaan, että arvoilla $ \mathsf{\underline{x}\leq -3}$ mainittu ala on nolla eli $ \mathsf{P(\underline{x}\leq -3)=0}$. Toisaalta tiheysfunktion määritelmän mukaan $ \mathsf{P(\underline{x}>2)=1}$, sillä kokonaistodennäköisyys on aina yksi. Välillä $ \mathsf{\underline{x}\in [-3,2]}$ kertymäfunktion arvoa vastaa kolmion ala. Tälle voidaan kirjoittaa lauseke

$\displaystyle \mathsf{A=\frac{1}{2}\cdot(3+\underline{x})\cdot f(\underline{x})...
...6}{25})=\frac{1}{25}\underline{x}^2 + \frac{6}{25}\underline{x} + \frac{9}{25}}$

Kertymäfunktioksi saadaan siis

$\displaystyle \mathsf{ F(\underline{x})= \left\{
\begin{array}{ll}
\mathsf{0} ...
...< x \leq 2}\\
\mathsf{1} & \textsf{kun } \mathsf{x > 2}
\end{array}\right.
}
$

Tämän kuvaaja on oheisessa kuvassa.


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Esimerkit
Tehtävät
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet