ETÄLUKIO - PITKÄ MATEMATIIKKA - Todennäköisyys ja tilastot (maa6)


	6:		Todennäköisyys ja tilastot

Esimerkit

Esimerkki 1 Määritetään taulukon avulla normeerattua normaalijakaumaa noudattavaan satunnaismuuttujaan $\mathsf{\underline{x}}$ liittyvät todennäköisyydet a) $\mathsf{P(x\leq 1.22)}$ b) $\mathsf{P(x\geq 1.22)}$ c) $\mathsf{P(x\leq -1.22)}$ d) $\mathsf{P(-1.22\geq x\leq 1.22)}$ .

a) Luetaan suoraan taulukosta:

$\displaystyle \mathsf{P(x\leq 1.22)=\Phi(1.22)=0.8888}$

b) Kysytty todennäköisyys on edellisen todennäköisyyden komplementti eli

$\displaystyle \mathsf{P(x\geq 1.22=1-P(x\leq 1.22)=1-\Phi(1.22)=0.1112}$

c) Jälleen hyödynnetään komplementtitapausten välistä suhdetta. Saadaan:

$\displaystyle \mathsf{P(x\leq -1.22)=\Phi(-1.22)=1-\Phi(1.22)=0.1112}$

d) Tämä todennäköisyys saadaan kertymäfunktion arvojen erotuksena.

$\displaystyle \mathsf{P(-1.22\leq x\leq 1.22)=\Phi(1.22)-\Phi(-1.22)=0.8888-0.1112=0.7776}$

Esimerkki 2 Komposiittimateriaalista valmistetun mailan kestoikä on normaalijakautunut. Keskimääräinen kestoikä on 960 peliminuuttia ja keskihajonta on 105 minuttia. Millä todennäköisyydellä komposiittimaila on käyttökelpoinen 1200 peliminuutin jälkeen?

Tässä tapauksessa normaalijakauman parametrit ovat $\mathsf{\mu=960}$ ja $\mathsf{\sigma=105}$ . Jakauma on aluksi normitettava, jolloin standardisoidun satunnaismuuttujan $\mathsf{\underline{z}}$ arvo saadaan lausekkeesta

$\displaystyle \mathsf{\underline{z}=\frac{\underline{x}-\mu}{\sigma}=\frac{\underline{x}-960}{105}}$

Satunnaismuuttujan $\mathsf{\underline{x}}$ arvolla $\mathsf{1200}$ saadaan $\mathsf{\underline{z}\approx 2.29}$ . Kysytty todennäköisyys on siis

$\displaystyle \mathsf{P(\underline{z}\geq 2.29)= 1-\Phi(2.29) = 1- 0.9890 \approx 0.011}$

Komposiittimaila on 1200 peliminuutin jälkeen käyttökelpoinen todennäköisyydellä 1.1 %.

Esimerkki 3 Tutkitaan satunnaismuuttujan $\mathsf{\underline{x}}$ normaalijakaumaa $\mathsf{\underline{x}\sim N(\mu, \sigma^2)}$ ja määritetään todennäköisyys $\mathsf{P(\mu-\sigma\leq \underline{x} \leq \mu +\sigma)}$ . Merkintä $\mathsf{\underline{x}\sim N(\mu, \sigma^2)}$ tarkoittaa, että satunnaismuuttuja $\mathsf{\underline{x}}$ noudattaa normaalijakaumaa parametrein $\mathsf{\mu}$ ja $\mathsf{\sigma}$ .

Aluksi normeerataan satunnaismuuttujan $\mathsf{\underline{x}}$ avulla esitetty jakauma. Tämän jälkeen todennäköisyys voidaan laskea kertymäfunktion arvojen erotuksena. Nämä arvot puolestaan saadaan taulukkokirjasta.

$\displaystyle \mathsf{\underline{z}=\frac{\underline{x}-\mu}{\sigma}}$

joten

$\displaystyle \mathsf{P(\mu-\sigma\leq \underline{x} \leq \mu +\sigma)= P(\frac... ...} \leq \frac{\underline{x}-\mu}{\sigma} \leq \frac{\mu +\sigma -\mu}{\sigma})}$