6: Todennäköisyys ja tilastot
Esimerkit

Esimerkki 1    Määritetään taulukon avulla normeerattua normaalijakaumaa noudattavaan satunnaismuuttujaan $ \mathsf{\underline{x}}$ liittyvät todennäköisyydet a) $ \mathsf{P(x\leq 1.22)}$ b) $ \mathsf{P(x\geq 1.22)}$ c) $ \mathsf{P(x\leq -1.22)}$ d) $ \mathsf{P(-1.22\geq x\leq 1.22)}$.

a) Luetaan suoraan taulukosta:

$\displaystyle \mathsf{P(x\leq 1.22)=\Phi(1.22)=0.8888}$

b) Kysytty todennäköisyys on edellisen todennäköisyyden komplementti eli

$\displaystyle \mathsf{P(x\geq 1.22=1-P(x\leq 1.22)=1-\Phi(1.22)=0.1112}$

c) Jälleen hyödynnetään komplementtitapausten välistä suhdetta. Saadaan:

$\displaystyle \mathsf{P(x\leq -1.22)=\Phi(-1.22)=1-\Phi(1.22)=0.1112}$

d) Tämä todennäköisyys saadaan kertymäfunktion arvojen erotuksena.

$\displaystyle \mathsf{P(-1.22\leq x\leq 1.22)=\Phi(1.22)-\Phi(-1.22)=0.8888-0.1112=0.7776}$

Esimerkki 2    Komposiittimateriaalista valmistetun mailan kestoikä on normaalijakautunut. Keskimääräinen kestoikä on 960 peliminuuttia ja keskihajonta on 105 minuttia. Millä todennäköisyydellä komposiittimaila on käyttökelpoinen 1200 peliminuutin jälkeen?

Tässä tapauksessa normaalijakauman parametrit ovat $ \mathsf{\mu=960}$ ja $ \mathsf{\sigma=105}$. Jakauma on aluksi normitettava, jolloin standardisoidun satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{z}}$ arvo saadaan lausekkeesta

$\displaystyle \mathsf{\underline{z}=\frac{\underline{x}-\mu}{\sigma}=\frac{\underline{x}-960}{105}}$

Satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ arvolla $ \mathsf{1200}$ saadaan $ \mathsf{\underline{z}\approx 2.29}$. Kysytty todennäköisyys on siis

$\displaystyle \mathsf{P(\underline{z}\geq 2.29)= 1-\Phi(2.29) = 1- 0.9890 \approx 0.011}$

Komposiittimaila on 1200 peliminuutin jälkeen käyttökelpoinen todennäköisyydellä 1.1 %.

Esimerkki 3    Tutkitaan satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ normaalijakaumaa $ \mathsf{\underline{x}\sim N(\mu, \sigma^2)}$ ja määritetään todennäköisyys $ \mathsf{P(\mu-\sigma\leq \underline{x} \leq \mu +\sigma)}$. Merkintä $ \mathsf{\underline{x}\sim N(\mu, \sigma^2)}$ tarkoittaa, että satunnaismuuttuja $ \mathsf{\underline{x}}$ noudattaa normaalijakaumaa parametrein $ \mathsf{\mu}$ ja $ \mathsf{\sigma}$.

Aluksi normeerataan satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ avulla esitetty jakauma. Tämän jälkeen todennäköisyys voidaan laskea kertymäfunktion arvojen erotuksena. Nämä arvot puolestaan saadaan taulukkokirjasta.

$\displaystyle \mathsf{\underline{z}=\frac{\underline{x}-\mu}{\sigma}}$

joten

$\displaystyle \mathsf{P(\mu-\sigma\leq \underline{x} \leq \mu +\sigma)=
P(\frac...
...} \leq \frac{\underline{x}-\mu}{\sigma} \leq \frac{\mu +\sigma -\mu}{\sigma})}
$

$\displaystyle \mathsf{=P(-1\leq \underline{z} \leq 1)=\Phi(1)-\Phi(-1)\approx0.68}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Esimerkit
Tehtävät
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet