ETÄLUKIO - PITKÄ MATEMATIIKKA - Todennäköisyys ja tilastot (maa6)


	6:		Todennäköisyys ja tilastot

Esimerkit

Esimerkki 1 Kirjastossa asiakkaiden käytössä olevien tietokoneiden käyttöä automaattisesti seurattaessa saatiin oheisen taulukon mukaiset tiedot asiakkaan selaamien internet-sivujen lukumäärästä ja yksittäisten istuntojen kestosta.

asiakas sivujen lukumäärä istunnon kesto (min) asiakas sivujen lukumäärä istunnon kesto (min)

1 5 15,39 11 6 79,56

2 3 75,06 12 3 12,23

3 2 11,28 13 6 33,98

4 8 53,1 14 10 36,95

5 4 22,51 15 4 14,73

6 9 43,97 16 5 30,59

7 4 5,25 17 5 38,04

8 10 56,09 18 3 10,07

9 3 12,06 19 8 62,09

10 4 17,53 20 10 74,13

Laaditaan selattujen sivujen lukumäärää kuvaava jakauma ja määritetään sen keskiarvo, vaihteluväli ja keskihajonta.

Selattujen sivujen lukumäärää kuvaavan jakauman esitykseksi taulukkona saadaan

sivujen lukumäärä frekvenssi

1 0

2 1

3 4

4 4

5 3

6 2

7 0

8 2

9 1

10 3

Keskiarvo voidaan laskea summaamalla alkuperäisessä taulukossa sivujen lukumääriä osoittavien sarakkeiden arvot ja jakamalla summa istuntojen lukumäärällä.

Keskiarvoksi saadaan

$\displaystyle \mathsf{\bar{x}=\frac{52 + 60}{20} = 5,6}$

Keskimääräinen selattujen sivujen lukumäärä on siis 5,6. Vaihteluväli on pienimmän ja suurimman arvon määräämä väli eli $\mathsf{[2,10]}$ ja vaihteluvälin pituus on

$\displaystyle \mathsf{R=x_{max}-x_{min}= 8}$

Keskihajonnan kaava on muotoa

$\displaystyle \mathsf{s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2}}$

Tämän laskemiseksi merkitään taulukkoon termien $\mathsf{(x_i-\bar{x})^2}$ arvot ja lasketaan niiden summa.

asiakas sivujen lukumäärä asiakas sivujen lukumäärä

1 5 0,36 11 6 0,16

2 3 6,76 12 3 6,76

3 2 12,96 13 6 0,16

4 8 5,76 14 10 19,36

5 4 2,56 15 4 2,56

6 9 11,56 16 5 0,36

7 4 2,56 17 5 0,36

8 10 19,36 18 3 6,76

9 3 6,76 19 8 5,76

10 4 2,56 20 10 19,36

summa: 71,2 summa: 61,6

Näin saadaan

$\displaystyle \mathsf{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2=71,2 + 61,6 = 132,8}$

ja keskihajonta voidaan laskea.

$\displaystyle \mathsf{s=\sqrt{\frac{1}{20}\cdot 132,8}\approx 2,58}$

Esimerkki 2 Jatketaan edellisen tehtävän tilastoaineiston käsittelyä. Istunnon kesto on luonteeltaan jatkuva tilastomuuttuja. Jaetaan muuttujan arvot kahdeksaan kymmenen minuutin luokkaan, jolloin jakauman taulukkoesitykseksi saadaan

istunnon kesto (min) frekvenssi

0 - 10 1

10 - 20 7

20 - 30 1

30 - 40 4

40 - 50 1

50 -60 2

60 - 70 1

70 - 80 3

Selvitetään nyt tämän jakauman keskiarvo, vaihteluväli, keskihajonta, moodi ja mediaani. Keskiarvon laskemiseksi merkitään taulukkoon luokkakeskukset $\mathsf{x_i}$ ja lasketaan niiden sekä luokkien frekvenssien $\mathsf{f_i}$ tulot omaan sarakkeeseensa.

istunnon kesto (min) luokkakeskus (min) frekvenssi tulo

0 - 10 5 1 5

10 - 20 15 7 105

20 - 30 25 1 25

30 - 40 35 4 140

40 - 50 45 1 45

50 -60 55 2 110

60 - 70 65 1 65

70 - 80 75 3 225

summa: 720

Nyt keskiarvo voidaan laskea luokitellun aineiston keskiarvon kaavalla

$\displaystyle \mathsf{\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m}f_i x_i=\frac{1}{20}\cdot 720=36}$

Vaihteluväli on jälleen pienimmän ja suurimman arvon määrämä väli $\mathsf{[5.25 , 79.56]}$ ja näiden erotus $\mathsf{x_{max}-x_{min}= 74,31}$ on vaihteluvälin pituus $\mathsf{R}$ .

Keskihajonta lasketaan luokitellun aineiston keskihajonnan kaavalla

$\displaystyle \mathsf{s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f_i \left( x_i-\bar{x} \right)^2}}$

Tätä varten lasketaan taulukkon luokkakohtaisten frekvenssien $\mathsf{f_i}$ ja termien $\mathsf{(x_i-\bar{x})^2}$ tulot ja näiden summa.

istunnon kesto (min) luokkakeskus (min) frekvenssi tulo

0 - 10 5 1 961 961

10 - 20 15 7 441 3087

20 - 30 25 1 121 121

30 - 40 35 4 1 4

40 - 50 45 1 81 81

50 -60 55 2 361 722

60 - 70 65 1 841 841

70 - 80 75 3 1521 4563

summa: 10380

Keskihajonta on siis

$\displaystyle \mathsf{s = \sqrt{\frac{1}{20}\cdot 10380} \approx 22,78}$

Jakauman tyyppiarvo eli moodi on luokka, jolla on suurin frekvenssi eli $\mathsf{Mo}$ on luokka $\mathsf{10 - 20}$ . Mediaani on puolestaan luokka, jonka alueella frekvenssien summa saa arvon $\mathsf{\frac{n}{2}=\frac{20}{2}=10}$ eli tässä tapauksessa $\mathsf{Md}$ on luokka $\mathsf{30 - 40}$ .

HUOM: Luokitellun tilastomuuttujan keskiarvo ja keskihajonta olisi voitu laskea myös ennen luokittelua käyttäen alkuperäisiä arvoja ja samoja kaavoja kuin ensimmäisessä tapauksessa. Usein luokitellun muuttujan alkuperäiset arvot eivät kuitenkaan ole käytettävissä ja on tyydyttävä tässä esitettyyn laskutapaan. Mikäli alkuperäinen, luokitelematon, aineisto on käytettävissä saadaan sen avulla tarkempi tulos.