6: Todennäköisyys ja tilastot
Esimerkit

Esimerkki 1    Tutkitaan millä todennäköisyydellä saadaan pariton silmäluku, kun tavallista noppaa heitetään kerran.

Tapahtuma-avaruuden $ \mathsf{S}$ muodostaa kaikkien silmälukujen joukko $ \mathsf{\{1,2,3,4,5,6\}}$ ja suotuisten tapausten joukko on $ \mathsf{A=\{1,3,5\}}$. Kysytty todennäköisyys saadaan suoruisien tapausten lukumäärän ja tapahtuma-avaruuden kaikkien alkioiden lukumäärän osamääränä eli

$ \mathsf{P(A)=\frac{3}{6}=0,5}$

Todetaan, että pariton silmäluku saadaan $ \mathsf{50\%}$ todennäköisyydellä.

Esimerkki 2    Arpajaisissa on 100 arpaa, joista 10 voittaa. Henkilö A ostaa10 arpaa, mutta ei voita. Henkilö B ostaa 11. arvan. Millä todennäköisyydellä B ei myöskään voita ?

1. Henkilön A ostettua arpoja jäljellä 100 -10 = 90 kpl, joista 10 voittaa. Siis B ei voita todennäköisyydellä

$\displaystyle \mathsf{P(A)=\frac{80}{90}=\frac{8}{9}}$

Esimerkki 3    Korissa on 6 vihreää, 4 punaista ja 5 keltaista omenaa. Nostetaan yksi. Millä todennäköisyydellä se ei ole vihreä ?

Omenoita on yhteensä 15 ja muita kuin vihreitä on yhteensä 9. Siis kysytty todennäköisyys on

$\displaystyle \mathsf{P(\text{''Punainen tai keltainen''})=\frac{9}{12}=\frac{3}{5}}$

Esimerkki 4    Eeräältä www-sivulta ladataan tiettyä tiedostoa keskimäärin kuuden minuutin välein. Tiedoston lataaminen vie aikaa keskimääriin 14 minuuttia. Tutkitaan geometrisen todennäköisyyden avulla, millä todennäköisyydellä sivuilla on yhtäaikaisesti käynnissä kolme latausta.

Oheiseen kuvaan on merkitty 18 minuutin ajanjakso, joka on jaettu kuuden minuutin janoihin. Lisäksi alle on merkitty latauksen kestoa vastaavat 14 minuutin ajanjaksot.


Toisaalta aikajana on todellisuudessa jatkuva ja lautausajat toistuvat samanlaisina jaksoina. Seuraavaan kuvaan on täydennetty ennen kuvattua jaksoa alkaneet lataukset.


Kuvan perusteella todetaan, että kysytty todennäköisyys saadaan geometrisena todennäköisyytenä vertaamalla pituutta jona latausajat osuvat päällekkäin koko 6 minuutin jaksoon. Todennäköisyys on

$\displaystyle \mathsf{P(\text{''Käynnissä kolme yhtäaikaista latausta''})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$

Esimerkki 5 Erästä noppaa heitettiin 900 kertaa, jotta voitiin osoittaa sen olevan painotettu. Silmälukuja 1,2,3,4,5 ja 6 vastaaviksi tuloksien lukumääriksi saatiin 75, 112, 141, 89, 130 ja 353. Tutkitaan tilastollisen todennäköisyyden avulla, millä todennäköisyydellä saadaan yhdellä heitolla silmäluvun arvoksi vähintään viisi.

Kysytty todennäköisyys saadaan suotuisten tapausten lukumäärän 130+353=483 ja kaikkien tapausten lukumäärän suhteena.

$\displaystyle \mathsf{P(\text{''Yhdellä heitolla vähintään silmäluku 5''})=\frac{483}{900}\approx 0.54}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Esimerkit
Tehtävät
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet