6: Todennäköisyys ja tilastot
Esimerkit

Esimerkki 1    Heitetään kahta tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä toinen silmäluvuista on 2 tai silmälukujen summa on 5?

Tapahtuma-avaruudessa on $ \mathsf{6\cdot 6=36}$ alkiota. Silmälukupareja joissa toinen silmäluvuista on kaksi ovat $ \mathsf{A=\{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\}}$. Näitä on 11 kpl. Silmälukupareja joissa silmälukujen summa on 5 ovat $ \mathsf{B=\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}}$ eli 4 kpl. Joukkojen leikkaus on $ \mathsf{A\cap B=\{(2,3),(3,2)\}}$. Kysytty todennäköisyys saadaan yhteenlaskusäännöllä.

$\displaystyle \mathsf{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{11}{36}+\frac{4}{36}-\frac{2}{36}=\frac{13}{36}}$

Tilannetta voidaan havainnollistaa oheisella kuvalla, jossa suotuisat tapaukset on merkitty ruudukkoon.


Esimerkki 2    Millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu kaksinumeroinen kokonaisluku on jaollinen viidellä tai siinä esiintyy numero viisi?

Kaksinumeroisia kokonaislukuja ovat luvut $ \mathsf{10,11,...,99}$ eli tapahtumaavaruudessa on 90 alkiota. Näistä viidellä jaollisia ovat luvut $ \mathsf{A=\{10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95\}}$ eli 18 kpl. Lukuja joissa esiintyy numero 5 ovat $ \mathsf{B=\{15,25,35,45,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,65,75,85,95\}}$ eli 18 kpl. Joukkojen $ \mathsf{A}$ ja $ \mathsf{B}$ leikkaus on $ \mathsf{A\cap B=\{15,25,35,45,50,55,65,75,85,95\}}$. Tässä joukossa ovat siis luvut, joissa esiintyy numero 5 ja jotka ovat jaollisia viidellä. Näitä lukuja on 10 kpl. Kysytty todennäköisyys saadaan yhteenlaskusäännöllä.

$\displaystyle \mathsf{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{18}{90}+\frac{18}{90}-\frac{10}{90}=\frac{13}{45}}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Esimerkit
Tehtävät
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet