6: Todennäköisyys ja tilastot
Esimerkit

Esimerkki 1    Kymmenen henkilön joukossa on 3 naista ja 7 miestä. Heidän joukostaan valitaan umpimähkään kolmihenkinen työryhmä. Selvitetään työryhmään tulevien naisten lukumäärän $ \mathsf{\underline{x}}$ todennäköisyysjakauma.

Lasketaan todennäköisyydet

$\displaystyle \mathsf{P(\underline{x}=0)=\frac{\left(^3_0 \right)\left(^7_3 \right)}{\left(^{10}_3 \right)}=\frac{35}{120}}$

$\displaystyle \mathsf{P(\underline{x}=1)=\frac{\left(^3_1 \right)\left(^7_2 \right)}{\left(^{10}_3 \right)}=\frac{63}{120}}$

$\displaystyle \mathsf{P(\underline{x}=2)=\frac{\left(^3_2 \right)\left(^7_1 \right)}{\left(^{10}_3 \right)}=\frac{21}{120}}$

$\displaystyle \mathsf{P(\underline{x}=3)=\frac{\left(^3_3 \right)\left(^7_0 \right)}{\left(^{10}_3 \right)}=\frac{1}{120}}$

Jakaumaksi saadaan:

$ \mathsf{x_i}$: $ \mathsf{0}$ $ \mathsf{1}$ $ \mathsf{2}$ $ \mathsf{3}$
$ \mathsf{p_i}$: $ \mathsf{\frac{35}{120}}$ $ \mathsf{\frac{63}{120}}$ $ \mathsf{\frac{21}{120}}$ $ \mathsf{\frac{1}{120}}$

Jakauman avulla voidaan laskea esimerkiksi todennäköisyys

$\displaystyle \mathsf{P(1\leq \underline{x} \leq 2)=P(\underline{x}=1)+P(\underline{x}=2)=\frac{63+21}{120}= 0.7}$

Työryhmässä on siis molempia sukupuolia todennäköisyydellä 0.7.

Esimerkki 2    Arpajaisissa on yhteensä 100 arpaa. Yhdellä arvalla saa 50 euron voiton, kuudella 10 euron voiton ja kahdellatoista 5 euron voiton. Lopuilla arvoista ei voita mitään. Määritetään yhdellä arvalla saatavan voiton $ \mathsf{\underline{x}}$ odotusarvo.

Laaditaan taulukko.


$ \mathsf{x_i}$ kpl $ \mathsf{p_i}$ $ \mathsf{p_ix_i}$
50 1 0,01 0,5
10 6 0,06 0,6
5 12 0,12 0,6
0 81 0,81 0
yht: 100 1 1,7

Viimeisen sarakkeen loppusumma on kysytty odotusarvo eli $ \mathsf{E\underline{x}=}$1,7.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Esimerkit
Tehtävät
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet