6: Todennäköisyys ja tilastot
Jatkuva jakauma

Jatkuvan ja diskreetin todennäköisyysjakauman ero on samankaltainen kuin jatkuvan ja diskreetin tilastollisen jakauman ero. Diskreetin jakauman tapauksessa satunnaismuuttuja $ \mathsf{\underline{x}}$ voi saada vain tiettyjä arvoja, mutta jatkuva satunnaismuuttuja saa kaikki reaaliarvot tietyltä väliltä. Kertymäfunktiota tarkasteltaessa havaitaan, että funktion kuvaaja on yhtenäinen toisin kuin diskreetin jakauman kertymäfunktio.

Jatkuvaa jakaumaa ei voida määritellä pistetodennäköisyyksien avulla, vaan jakaumaa kuvataan satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ tiheysfunktiolla $ \mathsf{f(x)}$.

Tiheysfunktio

Tiheysfunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

1. $ \mathsf{f(x)\geq0}$ kaikilla reaaliarvoilla $ \mathsf{x}$.

2. $ \mathsf{f(x)}$ on jatkuva mahdollisesti äärellistä määrää erillisiä kohtia lukuun ottamatta.
3. Käyrän $ \mathsf{y=f(x)}$ ja $ \mathsf{x}$-akselin rajaaman alueen pinta-ala on $ \mathsf{1}$.
4. Todennäköisyyttä $ \mathsf{P(a<\underline{x}\leq b)}$ vastaa käyrän $ \mathsf{y=f(x)}$ ja $ \mathsf{x}$-akselin sekä suorien $ \mathsf{x=a}$ ja $ \mathsf{x=b}$ rajoittaman alueen pinta-ala.

Tunnusluvut

Jatkuvan todennäköisyysjakauman tunnusluvut vastaavat diskreetin jakauman tunnuslukuja ja ne määritellään seuraavasti:

1. Odotusarvo $ \mathsf{E\underline{x}}$ on käyrän $ \mathsf{y=xf(x)}$ ja $ \mathsf{x}$-akselin rajoittaman alueen pinta-ala.
2. Varianssi $ \mathsf{D^2\underline{x}}$ on käyrän $ \mathsf{y=(x-E\underline{x})^2\cdot f(x)}$ ja $ \mathsf{x}$-akselin rajaaman alueen pinta-ala.
3. Keskihajonta on $ \mathsf{D\underline{x}=\sqrt{D^2\underline{x}}}$.

Jatkuvan jakauman perusteellinen käsitteleminen edellyttää integraalilaskennan menetelmiä, joilla tarvittavat pinta-alat voidaan määrittää. Integraalilaskentaa käsitellään kurssissa 10.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Esimerkit
Tehtävät
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet