6: Todennäköisyys ja tilastot
Normaalijakauma

Normaalijakauma on jatkuvan jakauman tärkeä erityistapaus, jolla on lukuisia tilastollisia sovelluksia. Sitä noudattavia satunnaisilmiöitä esiintyy usein luonnontieteissä ja tekniikassa. Monet populaatiota kuvaavat suureet kuten yksilön paino ja pituus ovat yleensä normaalijakautuneita. Sama pätee usein myös monien teollisesti valmistettujen tuotteiden ominaisuuksiin esimerkiksi elementin vetolujuus. Satunnaismuuttujan $ \mathsf{\underline{x}}$ normeerattu normaalijakauma on jakauma, jonka tiheysfunktio on muotoa

$\displaystyle \mathsf{\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}}$

Tällaisen jakauman odotusarvo on $ \mathsf{\mu=0}$ ja keskihajonta $ \mathsf{\sigma=1}$. Normeeratun normaalijakauman kertymäfunktio ilmoittaa tiheysfunktion ja $ \mathsf{x}$-akselin sekä arvoa $ \mathsf{x}$ vastaavan suoran rajoittaman pinta-alan suuruuden. Kertymäfunktiota merkitään $ \mathsf{\Phi}$. Kertymäfunktiota ei voida esittää suljetussa muodossa eli alkeisfunktioden avulla. Kertymäfunktion arvot on kirjattu matematiikan taulukkokirjoihin. Oheinen kuvaaja esittää normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajaa.


Kuvaajan perusteella todetaan, että kuvaajan huippu sijaitsee jakauman odotusarvon kohdalla. Lisäksi jakauma on symmetrinen. Odotusarvon muuttuessa jakauman huipun paikka siis siirtyy ja keskihajonnan muuttuessa muuttuu jakauman leveys. Tällaiset jakaumat ovat kuitenkin myös normaalisti jakautuneita ja niitä voidaan tutkia normeeratun normaalijakauman avulla. Tälöin alkuperäistä jakaumaa vastaava satunnaismuuttuja $ \mathsf{\underline{x}}$ korvataan normeeratulla (standardisoidulla) satunnaismuuttujalla

$\displaystyle \mathsf{\underline{z}=\frac{\underline{x}-\mu}{\sigma}}$

missä $ \mathsf{\mu}$ ja $ \mathsf{\sigma}$ ovat alkuperäisen jakauman odotusarvo ja keskihajonta. Tämä muunnos siis siirtää jakauman huipun pystyakselin kohdalle ja muuntaa jakauman leveyden vastaamaan normitettua normaalijakaumaa.

Kuten muidenkin jatkuvien jakaumien tapauksessa, vastaa tiheysfunktion alle jäävä ala kertymäfunktion vastaavaa arvoa.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Esimerkit
Tehtävät
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet