6: Todennäköisyys ja tilastot
Jakauman tunnusluvut

Tilastollisia tietoja on tarpeen kyetä vertaamaan toisiinsa. Tässä ovat avuksi jakauman ominaisuuksia kuvaavat tunnusluvut. Seuraavassa esitellään tärkeimmät tunnusluvut. Tunnusluvut jaetaan keskilukuihin ja hajontalukuihin. Keskilukuja ovat: keskiarvo, moodi ja mediaani. Hajontalukuja vaihteluväli, varianssi ja keskihajonta.


Keskiarvo

Keskiarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan. Diskreetin tilastomuuttujan $ \mathsf{x}$ keskiarvoa merkitään $ \mathsf{\bar{x}}$. Kun mittaus tulokset ovat $ \mathsf{x_1,x_2,x_3,...,x_n}$, saadaan keskiarvo kaavalla

$\displaystyle \mathsf{\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i}$

Luokitellulle aineistolle keskiarvo voidaan laskea ns. luokkakeskusten ja frekvenssien avulla. Luokkakeskuksella tarkoitetaan kunkin luokan keskimmäistä arvoa ja merkitään niitä $ \mathsf{x_i}$. Kun tulosten kokonaismäärä on $ \mathsf{n}$, luokkien lukumäärä $ \mathsf{m}$ ja luokkakohtaiset frekvenssit $ \mathsf{f_i}$, saadaan keskiarvo kaavalla

$\displaystyle \mathsf{\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m}f_i x_i}$

Vaihteluväli

Vaihteluväli ilmoittaa millä välillä tulokset ovat. Se on siis muuttujan pienimmän ja suurimman arvon määräämä väli $ \mathsf{[x_{min}, x_{max}]}$. Vaihteluvälin pituus on muuttujan suurimman ja pienimmän arvon erotus

$\displaystyle \mathsf{R=x_{max}-x_{min}}$

Varianssi ja keskihajonta

Jakauman varianssi $ \mathsf{s^2}$ kuvaa tulosten jautumista keskiarvon ympäristöön. Kun varianssi on suuri poikkeavat arvot paljon keskiarvosta ja varianssin ollessa pieni keskimääräinen poikkeama keskiarvosta on pieni. Varianssi lasketaan lausekkeesta

$\displaystyle \mathsf{s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2}$

Varianssin neliöjuuri on keskihajonta $ \mathsf{s}$.

$\displaystyle \mathsf{s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2}}$

Tämä ilmoittaa kuinka paljon tulokset keskimäärin poikkeavat keskiarvosta. Keskihajonnan ja varianssin merkitys on sama, mutta keskihajonnan yksikkö on sama kuin alkuperäisen muuttujan,

Luokitellulle aineistolle keskihajonta lasketaan kaavalla

$\displaystyle \mathsf{s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f_i \left( x_i-\bar{x} \right)^2}}$

Tässä $ \mathsf{f_i}$ ja $ \mathsf{x_i}$ ovat kutakin luokkaa vastaavat frekvenssit ja luokkakeskukset.

Moodi

Luokitellun aineiston tapauksessa käytetään käsitettä moodi eli tyyppiarvo. Tämä tarkoittaa frekvenssiltään suurinta luokkaa tai tätä vastaavaa tilastomuuttujan arvoa. Tyyppiarvoa merkitään $ \mathsf{Mo}$.

Mediaani

Mediaani on muuttujan keskimmäinen arvo. Se jakaa havaintoaineiston kahtia. Luokitellun aineiston tapauksessa mediaani on luokka, jonka alueella frekvenssien summa saa arvon $ \mathsf{\frac{n}{2}}$. Mediaania merkitään .

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Esimerkit
Tehtävät
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet