6: Todennäköisyys ja tilastot
Todennäköisyyden käsite

Todennäköisyyslaskennassa tarkastellaan tapahtumia, joissa lopputuloksia on useita, mutta tulosta ei voi ennustaa. Näitä tapahtumia nimitetään satunnaiskokeiksi. Satunaiskokeen mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi. Esimerkiksi tavallista kuusitahkoista noppaa heitettäessä alkeistapauksina ovat silmäluvut yhdestä kuuteen.

Alkeistapausten joukko on nimeltään tapahtuma- tai otosavaruus. Nopanheitossa tämä joukko on silmälukujen joukko $ \mathsf{\{1,2,3,4,5,6\}}$. Usein otosavaruutta merkitään $ \mathsf{S}$:llä. Otosavaruuden joukon niitä alkeistapauksia, joita tavoitellaan, nimitetään suotuisiksi tapauksiksi. Jos nopanheitossa haluttaisiin, että silmäluku on suurempi kuin 4, olisi suotuisten tapausten joukko $ \mathsf{\{5,6\}}$.

Todennäköisyyslaskennan perusongelmana on ratkaista, mikä on tietyn satunnaiskokeen suotuisan tapahtuman mahdollisuus. Seuraavaksi esitellään tärkeimmät todennäköisyysmallit tämän perusongelman ratkaisemiseksi.

Klassinen todennäköisyys

Jos alkeistapaukset symmetrisiä, eli yhtä todennäköisiä, niin

$\displaystyle \mathsf{P(A)=\frac{k}{n}}$

missä $ \mathsf{k}$ on suotuisten tapausten ja $ \mathsf{n}$ on kaikkien alkeistapausten määrä. Merkinnässä $ \mathsf{P(A)}$ kirjain P viittaa todennäköisyyteen (probability) ja A tietyyn tapahtumaan esim. ''Nopan silmäluku on kuusi''. Symmetrisiä tapauksia ovat esimerkiksi nopanheitossa saatavat silmäluvut, sillä jokainen silmäluku on yhtä todennäköinen.

Klassisen todennäköisyyden määritelmällä on kaksi merkittävää seurausta:

Mahdottoman tapahtuman eli tapahtuman, jota ei vastaa yksikään alkeistapaus, todennäköisyys on

$\displaystyle \mathsf{P(A)=\frac{0}{n}=0}$

Varman tapahtuman eli tapahtuman, jota vastaavat kaikki tapahtuma-avaruuden alkiot, todennäköisyys on

$\displaystyle \mathsf{P(A)=\frac{n}{n}=1}$

Tämän perusteella todennäköisyys kuvataan lukuna

$\displaystyle \mathsf{0\leq P(A) \leq 1}$

Geometrinen todennäköisyys

Geometrisen todennäköisyyden avulla voidaan käsitellä tilanteita, joissa tapahtuma-avaruus sisältää äärettömän määrän alkioita. Tällöin symmetriset tapaukset esitetään geometrisena kuviona ja todennäköisyydet vastaavat kuvion geometrisia ominaisuuksia. Jos esimerkiksi tikka osuu umpimähkään tikkatauluun, voidaan kunkin tuloksen pinta-alan ajatella kuvaavan vastaavaa alkeistapausten joukkoa. Tällöin todennäköisyys voidaan laskea suotuisan pinta-alan ja kokonaisalan suhteena. Tavallisessa tikkataulussa tulos kymmenen on pinta-alataan pienin ja siksi epätodennäköisin.

Tilastollinen todennäköisyys

Toistamalla tiettyä satunnaiskoetta useita kertoja ja laskemalla suotuisan tapahtuman suhteellinen frekvenssi voidaan määrittää tapahtumaan liittyvä tilastollinen todennäköisyys. Tilastollinen todennäköisyys $ \mathsf{P(A)}$ on se suhteellisen frekvenssin

$\displaystyle \mathsf{\frac{n(A)}{n}}$

arvo A, jota suhteellinen frekvenssi lähestyy, kun satunnaiskoetta toistetaan. Merkinnällä $ \mathsf{n(A)}$ viitataan niihin tapahtumiin, jotka toteuttavat ehdon $ \mathsf{A}$.

Jos vaikkapa kalamies merkitsee ylös saalistaneidensa alamittaisten kalojen määrän ja kokonaislukumäärän, voidaan näiden todennäköisyys P(A)=''napattu kala on alamittainen'' laskea näiden lukumäärien osamääränä.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Esimerkit
Tehtävät
Kombinaatio-oppia
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet