6: Todennäköisyys ja tilastot
Kombinaatio-oppia

Kombinaatio-oppi koostuu menetelmistä, joilla voidaan määrittää tapahtuma-avaruuden ja suotuisten tapahtumien alkioiden lukumääriä. Tällöin selvitetään $ \mathsf{n}$ alkiota sisältävän joukon $ \mathsf{A}$ osajoukkojen ja jonojen lukumääriä.

Tuloperiaate

Jos operaatio $ \mathsf{T}$ koostuu peräkkäisistä operaatioista $ \mathsf{T_k}$ ( $ \mathsf{k=1,2,3,...,n}$) ja kukin osaoperaatio voidaan suorittaa $ \mathsf{n_k}$ eri tavalla, niin operaatio $ \mathsf{T}$ voidaan suorittaa $ \mathsf{n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot ... \cdot n_k}$ eri tavalla.

Kertoma

Kertomalla tarkoitetaan positiiviseen kokonaislukuun $ \mathsf{n}$ liittyvää lukua $ \mathsf{n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot n}$. Luvuille $ \mathsf{0}$ ja $ \mathsf{1}$ määritellään, että $ \mathsf{0!=1}$ ja $ \mathsf{1!=1}$.

Permutaatio

Äärellisen joukon permutaatio on joukon alkioista muodostettu jono, jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleen kerran.

Kun joukossa on $ \mathsf{n}$ alkiota, niiden permutaatioiden lukumäärä on $ \mathsf{n!}$. Tämä tarkoittaa, että alkiot voidaan järjestää $ \mathsf{n!}$ eri tavalla. Esimerkiksi viisi ihmistä voi asettua jonoon $ \mathsf{5!=120}$ eri tavalla.

Variaatio

$ \mathsf{n}$-alkioisesta joukosta voidaan muodostaa $ \mathsf{k}$-alkioisia jonoja eli variaatioita

$\displaystyle \mathsf{(n)_k=n(n-1)...(n-(k-1))=\frac{n!}{(n-k)!}}$

kappaletta. Esimerkiksi kuuden ihmisen joukosta valita ja järjestää jonoon neljä ihmistä

$\displaystyle \mathsf{\frac{6!}{(6-4)!}}=360$

eri tavalla.

Kombinaatio

Kun joukossa on $ \mathsf{n}$ alkiota, niin siitä voidaan valita $ \mathsf{k}$-alkioisia osajoukkoja $ \mathsf{k\leq n}$

$\displaystyle \mathsf{\left( ^{n}_{k} \right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$

eri tavalla. Merkintä $ \mathsf{\left( ^{n}_{k} \right)}$ lausutaan ''n yli k''.

Esimerkiksi kuuden ihmisen joukosta voidaan valita neljän henkilön työryhmä

$\displaystyle \mathsf{\left( ^{6}_{2} \right)=15}$


eri tavalla.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Tilastolliset jakaumat
Jakauman tunnusluvut
Todennäköisyyden käsite
Kombinaatio-oppia
Esimerkit
Tehtävät
Kertolaskusääntö
Komplementtitapaus
Yhteenlaskusääntö
Toistokoe
Diskreetti jakauma
Jatkuva jakauma
Normaalijakauma
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet