7: Derivaatta
Esimerkit

Esimerkki 1    Selvitetään lausekkeen

$\displaystyle \mathsf{\frac{x^2-1}{x^2+2x-15}}$
määrittelyjoukko.

Tässä tapauksessa rationaalilauseke on määritelty, kun nimittäjä on nollasta eroava. On etsittävä lausekkeen

$\displaystyle \mathsf{x^2+2x-15}$
nollakohdat. Tekijöihin jakamalla saadaan

$\displaystyle \mathsf{ x^2+2x-15 = 0 }$

$\displaystyle \mathsf{ \Rightarrow (x-3)(x+5) = 0 }$

$\displaystyle \mathsf{ \Rightarrow x=3 \lor x=-5 }$
Alkuperäisen rationaalilausekkeen määrittelyjoukko on reaalilukujoukko poislukien saadut juuret. Ilmoitamme siis määrittelyjoukoksi $ \mathsf{\mathbb{R} \backslash \{ -5, 3 \}}$. Kun on ilmeistä, että kysymyksessä ovat reaaliluvut, voidaan tulos ilmoittaa myös muodossa $ \mathsf{x \neq -5}$ ja $ \mathsf{x \neq 3}$.

Lukusuoralla vastaus näyttää seuraavalta:

lukusuora1

Esimerkki 2    Ratkaistaan millä $ \mathsf{x}$:n arvoilla rationaalilauseke

$\displaystyle \mathsf{\frac{2-\sqrt{x^2-4}}{x^2-5x-6}}$
on määritelty.

Tässäkin esimerkissä lausekkeen nimittäjän tulee olla erisuuri kuin nolla, mutta lisäksi on pantava merkille ettei osoittaja ole määritelty kaikilla $ \mathsf{x}$:n arvoilla. Neliöjuuri ei ole määritelty, jos juurettava on negatiivinen.

Tutkitaan ensin nimittäjän nollakohdat.

$\displaystyle \mathsf{ x^2-5x-6 = 0 }$

$\displaystyle \mathsf{ \Rightarrow (x-6)(x+1) = 0 }$

$\displaystyle \mathsf{ \Rightarrow x=6 \lor x=-1 }$
Osoittaja on puolestaan määritelty, kun $ \mathsf{x^{2}-4\geq 0}$ eli $ \mathsf{x\leq-2}$ tai $ \mathsf{x\geq 2}$.

Lopuksi yhdistetään saadut määrittelyehdot ja saadaan $ \mathsf{x \leq 2}$ tai $ \mathsf{2 \leq x < 6}$ tai $ \mathsf{x > 6}$. Joukko-opin merkinnöillä määrittelyjoukko on $ \mathsf{ ]-\infty,-2[ \quad \bigcup \quad [2,6[ \quad \bigcup \quad ]6,\infty[ }$.

Vastaavasti lukusuoralla:


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Rationaalilauseke
Esimerkit
Tehtävät
Rationaalilausekkeiden summa ja erotus
Rationaalilausekkeiden tulo ja osamäärä
Sieventäminen
Rationaaliyhtälöt
Rationaaliepäyhtälöt
Raja-arvo
Raja-arvon laskusääntöjä
Jatkuvuus
Derivaatta
Derivoimissääntöjä I
Dervoimissääntöjä II
Tangentti ja normaali
Funktion kasvaminen ja väheneminen
Paikalliset ääriarvot
Absoluuttiset ääriarvot
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet