7: Derivaatta
Esimerkit

Esimerkki 1    Määritetään funktion $ \mathsf{f(x)=-3x^2+12x+7}$ absoluuttiset ääriarvot välillä $ \mathsf{[1,6]}$.

Funktio ja derivaatta ovat jatkuvia, joten paikalliset ääriarvot saadaan välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa. Derivaatta $ \mathsf{f'(x)=-6x+12}$ on nolla kohdassa $ \mathsf{x=2}$. Paikalliset ääriarvot ovat siis

$\displaystyle \mathsf{ f(1)=16, \quad f(2)=19, \quad f(6)=-29}$

Vertailemalla todetaan, että funktion absoluuttinen maksimi on $ \mathsf{19}$ ja minimi $ \mathsf{-29}$.

Esimerkki 2    Määritetään funktion $ \mathsf{f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2+\frac{3}{4}}$ absoluuttiset ääriarvot, kun $ \mathsf{x \in [-\frac{3}{2},\frac{3}{2}]}$.

Derivaatta

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)}$

saa arvon nolla, kun $ \mathsf{x=0}$, $ \mathsf{x=1}$ ja $ \mathsf{x=2}$. Viimeisin $ \mathsf{x}$:n arvo ei kuulu annetulle välille, joten vertaillaan arvoja

$\displaystyle \mathsf{f(-\frac{3}{2})\approx 7.64, \quad f(0)=0.75, f(1)=1, \quad f(\frac{3}{2})\approx 0.89}$

Todetaan, että funktion absoluuttinen maksimi on noin 7.64 ja minimi 0.75.

Esimerkki 3    Neliön muotoisesta pahvilevystä, jonka sivun pituus on 12, muodostetaan suorakulmaisen särmiön muotoinen pakkaus leikkaamalla pahvilevyn kulmista pois samankokoiset neliöt ja taittamalla syntyvät siivekkeet ylös. Mitkä ovat pakkauksen mitat, kun sen tilavuus halutaan mahdollisimman suureksi?

pakkaus


Tutkitaan mitä suureita tehtävässä esiintyy ja merkitään pakkausen tilavuutta $ \mathsf{V}$:llä, sivun pituutta $ \mathsf{x}$:llä ja korkeutta $ \mathsf{h}$:lla. Nämä ilmenevät myös kuvasta.

Muuttujien välillä vallitsevat yhtälöt

$\displaystyle \mathsf{V=x^2h}$

$\displaystyle \mathsf{2h+x=12}$

Ratkaistaan jälkimmäisestä $ \mathsf{h=\frac{12-x}{2}}$ ja sijoitetaan tämä ensimmäiseen yhtälöön, jotta saadaan lausuttua tilavuus $ \mathsf{V}$ yhden muuttujan avulla. Näin saadaan:

$\displaystyle \mathsf{V=x^2h=x^2\left(\frac{12-x}{2}\right)=6x^2-\frac{1}{2}x^3}$

Tässä vaiheessa on syytä pohtia, millä välillä ratkaisua etsitään. Pituus $ \mathsf{x}$ ei voi olla negatiivinen ja toisaalta se ei voi olla alkuperäistä pahvilevyn sivua pidempi, joten $ \mathsf{x \in [0,12]}$. Kysymys on siis funktion $ \mathsf{V(x)=6x^2-\frac{1}{2}x^3}$ suurimman arvon määrittämisestä tällä välillä.

Derivaatta on

$\displaystyle \mathsf{V'(x)=12x-\frac{3}{2}x^2=\frac{3}{2}x(8-x)}$

ja se saa arvon nolla kohdissa $ \mathsf{x=0}$ ja $ \mathsf{x=8}$. Ensimmäinen kohta on myös tarkasteluvälin päätepiste, joten näiden lisäksi tarkasteltavaksi jää vain toinen päätepiste. Lasketaan arvot näissä kohdissa.

$\displaystyle \mathsf{V(0)=0, \quad V(8)=128, \quad V(12)=0}$

Suurin tilavuus saadaan siis $ \mathsf{x}$:n arvolla $ \mathsf{8}$. Selvitetään vielä vastaava korkeus.

$\displaystyle \mathsf{h=\frac{12-8}{2}=2}$

Halutun pakkauksen korkeus on $ \mathsf{2}$ ja sivun pituus $ \mathsf{8}$.


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Rationaalilauseke
Rationaalilausekkeiden summa ja erotus
Rationaalilausekkeiden tulo ja osamäärä
Sieventäminen
Rationaaliyhtälöt
Rationaaliepäyhtälöt
Raja-arvo
Raja-arvon laskusääntöjä
Jatkuvuus
Derivaatta
Dervoimissääntöjä I
Derivoimissääntöjä II
Tangentti ja normaali
Funktion kasvaminen ja väheneminen
Paikalliset ääriarvot
Absoluuttiset ääriarvot
Esimerkit
Tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet