7: Derivaatta
Esimerkit

Esimerkki 1    Ratkaistaan murtoyhtälö

$\displaystyle \mathsf{\frac{5}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{2x}}$
Yhtälössä esiintyvien rationaalilausekkeiden nimittäjät saavat arvon nolla, kun $ \mathsf{x=0}$ tai $ \mathsf{x=1}$. Asetetaan siis alkuehdoksi $ \mathsf{x \neq 0}$ ja $ \mathsf{x \neq 1}$. Seuraavaksi kerrotaan yhtälö puolittain nimittäjien tekijöiden tulolla $ \mathsf{2x(x-1)}$, jotta päästään eroon murtolausekkeista.

$\displaystyle \mathsf{\frac{5}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{2x} \qquad \vert\vert \cdot 2x(x-1)}$

$\displaystyle \mathsf{10(x-1)-2x=x-1}$

$\displaystyle \mathsf{10x-10-2x=x-1}$

$\displaystyle \mathsf{x=\frac{9}{7}}$
Koska saatu ratkaisu toteuttaa asettamamme alkuehdon, sopii se alkuperäisen yhtälön ratkaisuksi.

Esimerkki 2    Ratkaistaan rationaaliyhtälö

$\displaystyle \mathsf{\frac{x}{x-3}+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x^{2}-5x+6}}$
Havaitaan, että vasemmanpuoleisten lausekkeiden nimittäjien tulo on on oikeanpuoleisen lausekkeen nimittäjä. Alkuehdoksi asetetaan siis $ \mathsf{x \neq 3}$ ja $ \mathsf{x \neq 2}$ ja yhtälöä kerrotaan puolittain tulolla $ \mathsf{(x-3)(x-2)}$.

$\displaystyle \mathsf{\frac{x}{x-3}+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x^{2}-5x+6} \qquad \vert\vert \cdot (x-3)(x-2)}$

$\displaystyle \mathsf{x(x-2)+(x-3)=2}$

$\displaystyle \mathsf{x^{2}-x-5=0}$

$\displaystyle \mathsf{\Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}}$
Esimerkki 3    Ratkaistaan yhtälö

$\displaystyle \mathsf{\frac{x-1}{2}-\frac{3}{2}x-1+\frac{1-x}{3}=0}$
Yhtälössä esiintyy osamääriä, mutta se ei ole rationaaliyhtälö, sillä nimittäjissä ei ole lainkaan muuttujan $ \mathsf{x}$ lausekkeita. Yhtälö ratkaistaan siis, kuten aiemmissa kursseissa on opittu.

$\displaystyle \mathsf{\frac{x-1}{2}-\frac{3}{2}x-1+\frac{1-x}{3}=0 \qquad \vert\vert \cdot 6}$

$\displaystyle \mathsf{3x-3-9x-6+2-2x=0}$

$\displaystyle \mathsf{x=-\frac{7}{8}}$



PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Rationaalilauseke
Rationaalilausekkeiden summa ja erotus
Rationaalilausekkeiden tulo ja osamäärä
Sieventäminen
Rationaaliyhtälöt
Esimerkit
Tehtävät
Rationaaliepäyhtälöt
Raja-arvo
Raja-arvon laskusääntöjä
Jatkuvuus
Derivaatta
Derivoimissääntöjä I
Dervoimissääntöjä II
Tangentti ja normaali
Funktion kasvaminen ja väheneminen
Paikalliset ääriarvot
Absoluuttiset ääriarvot
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet