7: Derivaatta
Derivaatta

Tutkitaan oheisen kuvan mukaista tilannetta, jossa funktion $ \mathsf{f(x)}$ kuvaajalle on piirretty sekantti pisteiden $ \mathsf{(x_{0},f(x_{0}))}$ ja $ \mathsf{(x_{0}+h,f(x_{0}+h))}$ kautta.



Funktion arvojen välisen eron $ \mathsf{\Delta f(x) = f(x_{0}+h)-f(x_{0})}$ ja $ \mathsf{x}$:n arvojen eron $ \mathsf{\Delta x = x_{0}+h-x_{0}=h}$ osamäärää kutsutaan erotusosamääräksi:

$\displaystyle \mathsf{\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Derivaatta on puolestaan erotusosamäärän raja-arvo, kun $ \mathsf{h \to 0}$ eli funktion $ \mathsf{f(x)}$ derivaatta kohdassa $ \mathsf{x=x_{0}}$ on

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Merkintä $ \mathsf{f'(x)}$ tarkoittaa siis derivaattaa. Graafisesti erotusosamäärän raja-arvon tarkastelu tarkoittaa käyrälle piirrettyn suoran liikkumista kohti mainittuun kohtaan piirrettyä tangenttia. Muodossa $ \mathsf{y=f(x)}$ ilmaistun käyrän derivaattaa merkitään $ \mathsf{y'}$.
Oheinen animaatio havainnollistaa sekantin muuttumista, kun h lähestyy arvo nolla. Saat aktiovitua animaation napauttamalla kuvaa.


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Rationaalilauseke
Rationaalilausekkeiden summa ja erotus
Rationaalilausekkeiden tulo ja osamäärä
Sieventäminen
Rationaaliyhtälöt
Rationaaliepäyhtälöt
Raja-arvo
Raja-arvon laskusääntöjä
Jatkuvuus
Derivaatta
Esimerkit
Tehtävät
Derivoimissääntöjä I
Dervoimissääntöjä II
Tangentti ja normaali
Funktion kasvaminen ja väheneminen
Paikalliset ääriarvot
Absoluuttiset ääriarvot
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet