7: Derivaatta
Funktion kasvaminen ja väheneminen

Derivaatan avulla voidaan tutkia funktion kulkua. Määrittelemme nyt derivaatan avulla käsitteet kasvaminen ja väheneminen ja tarkastelemme näiden yhteyttä funktion derivaattaan.

Funktio $ \mathsf{f(x)}$on kasvava, jos $ \mathsf{f(a)}$ aina, kun a > b.

Funktio $ \mathsf{f(x)}$on vähenevä, jos $ \mathsf{f(a)}$ aina, kun a > b.

Funktio $ \mathsf{f(x)}$ on aidosti kasvava, jos $ \mathsf{f(a)}$ > aina, kun a > b.
Aidosti vähenevyys määritellään vastaavasti. Funktiota kutsutaan monotoniseksi, jos se on joko kasvava tai vähenevä, ja aidosti monotoniseksi, jos se on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Oheiset kuvat valaisevat tilannetta.

kuvaaja13 kuvaaja14
1) kasvava funktio 2) vähenevä funktio


Jatkuvalle ja derivoituvalle funktiolle f(x) pätee:

- $ \mathsf{f(x)}$ on kasvava, jos $ \mathsf{f(x)}$
- $ \mathsf{f(x)}$ on vähenevä, jos $ \mathsf{f(x)}$
- $ \mathsf{f(x)}$ on aidosti kasvava, jos $ \mathsf{f(x)}$ ja $ \mathsf{f(x)}$ vain yksittäisissä pisteissä

-$ \mathsf{f(x)}$ on aidosti vähenevä, jos $ \mathsf{f(x)}$ ja $ \mathsf{f(x)}$ vain yksittäisissä pisteissä
PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Rationaalilauseke
Rationaalilausekkeiden summa ja erotus
Rationaalilausekkeiden tulo ja osamäärä
Sieventäminen
Rationaaliyhtälöt
Rationaaliepäyhtälöt
Raja-arvo
Raja-arvon laskusääntöjä
Jatkuvuus
Derivaatta
Dervoimissääntöjä I
Derivoimissääntöjä II
Tangentti ja normaali
Funktion kasvaminen ja väheneminen
Esimerkit
Tehtävät
Paikalliset ääriarvot
Absoluuttiset ääriarvot
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet