7: Derivaatta
Raja-arvon käsite

Raja-arvot ovat differentiaalilaskennan perusta ja niiden ymmärtäminen on välttämätöntä derivaatan ja integraalin käsitteiden ymmärtämiselle. Sekä differentiaali- että integraalilaskenta ovat laajasti käytettäviä soveltavan matematiikan menetelmiä mm. tekniikan ja talouselämän parissa. Raja-arvon merkintätapa lim on peräisin latinan kielen sanasta "limes", joka puolestaan viittaa roomalaisten rakentamiin rajalinjoihin.

Raja-arvon käsitteen ymmärtämiseksi tutkitaan lausekkeiden

$\displaystyle \mathsf{f(x)=x^2+2x-1}$
ja
$\displaystyle \mathsf{g(x)=\frac{x^2+x-2}{x-1}}$
arvoja, kun $ \mathsf{x}$ saa arvoja kohdan $ \mathsf{x=1}$ läheisyydessä. Oheiseen kuvaan on piirretty funktion $ \mathsf{f(x)}$ kuvaaja punaisella ja funktion $ \mathsf{g(x)}$ sinisellä.

kuvaaja1

Koska funktion $ \mathsf{g(x)}$ nimittäjä eli lauseke $ \mathsf{x-1}$ saa arvon nolla kohdassa $ \mathsf{x=1}$ ei funktiota ole määritelty tässä kohdassa. Sen kuvaajaa ei myöskään voida piirtää ao. kohdassa. Tätä on merkitty kuvajassa renkaalla. Raja-arvon käyttökelpoisuus perustuu juuri sen ominaisuuteen kuvata funktion käyttäytymistä sellaisien kohtien läheisyydessä, joissa se ei ole määritelty.

Funktioiden arvoja on laskettu alla olevaan taulukkoon kohdan $ \mathsf{x=1}$ läheisyydessä. Taulukosta havaitaan, että molempien funktioiden arvot lähestyvät tiettyjä arvoja, kun $ \mathsf{x}$ lähestyy arvoa $ \mathsf{1}$.

$ x$ $ f(x)$ $ g(x)$
0 -1 2
0.5 0.25 2.5
0.75 1.0625 2.75
0.9 1.61 2.9
0.99 1.96 2.99
0.999 1.9960 2.999
1.001 2.0040 3.001
1.01 2.04 3.01
1.1 2.41 3.1
1.25 3.0625 3.25
1.5 4.25 3.5
2 7 4


Tällaista arvoa kutsutaan funktion raja-arvoksi ja merkitään

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 1}f(x)=2\\
 \lim_{x \to 1}g(x)=3}
 $

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 1}f(x)=2\\
 \lim_{x \to 1}g(x)=3}
 $
Näin ilmaisemme siis sen, että $ \mathsf{x}$:n arvon lähestyessä arvoa $ \mathsf{1}$ funktion $ \mathsf{f(x)}$ arvo lähestyy arvoa $ \mathsf{2}$ ja funktion $ \mathsf{g(x)}$ arvo arvoa $ \mathsf{3}$.

Edellisessä taulukossa on funtioille laskettu arvoja kohdan $ \mathsf{x=1}$ molemmin puolin eli arvoa $ \mathsf{1}$ pienemmillä ja suuremmilla arvoilla. Funktiolle määritelläänkin yleisesti nk. toispuoleiset eli vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot, joita merkitään

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=2\\
\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=2}
$
Esimerkkifunktion $ \mathsf{f(x)}$ tapauksessa nämä raja-arvot ovat yhtäsuuret. Kun $ \mathsf{x}$ lähestyy arvoa $ \mathsf{1}$ tätä pienemmillä arvoilla, sanotaan kyseessä olevan vasemmanpuoleinen raja-arvon (merkintä $ \mathsf{x \to 1^{-}}$). Oikeanpuoleinen raja-arvo saadaan vastaavasti (merkintä $ \mathsf{x \to 1^{+}}$). Tällainen määrittely on tarpeen sillä aina vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot eivät ole yhtäsuuret. Toispuoleisia raja-arvoja käsitellään jatkuvuuden yhteydessä.

On syytä todeta, että tässä esitetty ei ole raja-arvon tarkka määritelmä, vaan se sivuutetaan. Halutessasi löydät sen kirjallisuudesta. Raja-arvon määrittäminen tässä esitetyllä tavalla eli taulukoimalla ja kuvaajaa tutkimalla, ei myöskään ole mielekästä. Tavallisesti raja-arvo saadaan määritettyä tiettyjen laskusääntöjen avulla. Näihin laskusääntöihin perehdytään seuravassa osiossa.


PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Rationaalilauseke
Rationaalilausekkeiden summa ja erotus
Rationaalilausekkeiden tulo ja osamäärä
Sieventäminen
Rationaaliyhtälöt
Rationaaliepäyhtälöt
Raja-arvo
Esimerkit
Tehtävät
Raja-arvon laskusääntöjä
Jatkuvuus
Derivaatta
Derivoimissääntöjä I
Dervoimissääntöjä II
Tangentti ja normaali
Funktion kasvaminen ja väheneminen
Paikalliset ääriarvot
Absoluuttiset ääriarvot
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet