7: Derivaatta
Raja-arvon laskusääntöjä

Raja-arvoille on voimassa seuraavat laskusäännöt:

Olkoon

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a}f(x)=A}$

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a}g(x)=B}$

Vakion raja-arvo:

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to x_{0}}C=C}$

Sanallisesti: Minkä tahansa vakion raja-arvo missä tahansa kohdassa on vakio itse.

Muuttujan raja-arvo:

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a}x=a}$

Sanallisesti: Muuttujan raja-arvo kohdassa $ \mathsf{a}$ on $ \mathsf{a}$.

Summan raja-arvo:

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=A+B}$

Sanallisesti: Funktioiden summan raja-arvo tietyssä kohdassa on funktioiden raja-arvojen summa samassa kohdassa.

Tulon raja-arvo:

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x))=A\cdot B}$

Sanallisesti: Funktioiden tulon raja-arvo tietyssä kohdassa on funktioiden raja-arvojen tulo samassa kohdassa.

Osamäärän raja-arvo:

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}, (B\neq 0)}$

Sanallisesti: Funktioiden osamäärän raja-arvo tietyssä kohdassa on funktioiden raja-arvojen osamäärä samassa kohdassa, jos nimittäjälausekeen rajaarvo on erisuuri kuin nolla.

Yhdistetyn funktion raja-arvo:

$\displaystyle \mathsf{ \lim_{x \to a}g(f(x))=D,\quad(kun\; \lim_{x \to a}f(x)=A\;\; ja \; \lim_{y \to A}g(y)=D) }$

Sanallisesti: Yhdistetyn funktion raja-arvo saadaan laskemalla ulkofunktion raja-arvo kohdassa, joka vastaa sisäfunktion raja-arvoa alkuperäisessä kohdassa.

Raja-arvon laskeminen

Raja-arvojen laskemisessa hyödynnetään edellä esitettyjä laskusääntöjä ja laskeminen on yksinkertaista kaikissa niissä tilanteissa, jossa funktion raja-arvo saadaan sijoittamalla vastaavan kohdan arvo $ \mathsf{a}$ ja laskemalla funktion arvo tässä kohdassa. Usein funktio ei kuitenkaan ole määritelty kyseisessä kohdassa ja suoraa sijoitusta ei voida tehdä. Tällöin on hyödynnettävä esimerkiksi sopivia polynomien laskusääntöjä ja muokataan lauseke muotoon, jossa se on halutussa kohdasssa määritelty ja sijoitus voidaan tehdä. Parhaiten tämä menettely ilmenee esimerkeistä. Opit havaitsemaan mikä on kulloinkin sopivin keino laskemalla runsaasti erilaisia tehtäviä.

Raja-arvon laskeminen

1. Tutki voidaanko raja-arvo laskea suoraan sijoittamalla. Jos ei voida, niin jatka.

2. Muokkaa esiintyvät lausekkeet muotoon, jossa kaikki termit on määritelty tarkastelukohdassa.

3. Laske raja-arvo edellä esitetyillä laskusäännöillä.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Rationaalilauseke
Rationaalilausekkeiden summa ja erotus
Rationaalilausekkeiden tulo ja osamäärä
Sieventäminen
Rationaaliyhtälöt
Rationaaliepäyhtälöt
Raja-arvo
Raja-arvon laskusääntöjä
Esimerkit
Tehtävät
Jatkuvuus
Derivaatta
Derivoimissääntöjä I
Dervoimissääntöjä II
Tangentti ja normaali
Funktion kasvaminen ja väheneminen
Paikalliset ääriarvot
Absoluuttiset ääriarvot
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet