ETÄLUKIO - PITKÄ MATEMATIIKKA


	7:		Derivaatta

Jatkuvuus

Funktion jatkuvuus kuvaa sitä onko sen kuvaaja katkeamaton tarkastelualueella. Matemaattisesti funktion jatkuvuus määritellään seuraavasti: Funktio on jatkuva kohdassa $\mathsf{x=a}$ , jos

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a} f(x) = f(a)}$

Mikäli näin ei ole on funktio epäjatkuva. Tutkitaan kuvaajien avulla, mitä jatkuvuus merkitsee.

Kuvan 1 funktio on jatkuva, sillä aivan ilmeisesti funktion arvo vastaa sen raja-arvoa pisteessä $\mathsf{a}$ .

Kuvan 2 funktion ei ole jatkuva, sillä funktion arvo poikkeaa raja-arvosta.

Kuvassa 3 on sovellettava toispuoleisten raja-arvojen käsitettä. Funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa $\mathsf{x=a}$ sillä vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat erisuuret. Funktio ei siis ole jatkuva.

Edellisen tarkastelun perusteella voimme laatia ohjeen funktion jatkuvuuden tutkimiseksi tietyssä pisteessä.

Jatkuvuuden tutkiminen kohdassa x=a

1. Laske funktion arvo kohdassa x=a.

2. Määritä toispuoleiset raja-arvot.

3. Mikäli kaikki saadut arvot ovat yhtäsuuria, on funktio jatkuva. Muutoin se on epäjatkuva.

Yleisesti jatkuvuudella tarkoitetaan sitä, onko funktio jatkuva jollakin tarkasteluvälillä. Tällöin edellytetään, että funktio on jatkuva kaikissa kyseessä olevan välin pisteissä. Usein ei kuitenkaan ole tarpeen tarkastella kaikkia välin pisteitä erikseen, vaan voidaan hyödyntää tietoa alkeisfunktioiden jatkuvuudesta. Tarkasteltavaksi jäävät tällöin esimerkiksi vain kohdat, joissa paloittain määritellyn funktion määrittely muuttuu.

Alkeisfunktioita ovat polynomifunktio, rationaalifunktio, potenssifunktio, eksponenttifunktio, logaritmifunktio ja trigonometriset funktiot. Nämä ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan. Näistä muodostetut funktiot, kuten summat ja tulot ovat myös jatkuvia. Lisäksi jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio on jatkuva.