8: Juuri- ja logaritmifunktiot
Esimerkit

Esimerkki 1    Todetaan, että logaritmifunktion ominaisuuksien perusteella pätee:

a) Kantaluvun logaritmi on aina $ \mathsf{1}$, sillä minkä tahansa kantaluvun ensimmäinen potenssi on aina luku itse

$\displaystyle \mathsf{\log_a a=1}$


Logaritmifunktion $ \mathsf{f(x)=\log_a x}$ kuvaaja kulkee siis pisteen $ \mathsf{(a,1)}$ kautta.

b) Luvun $ \mathsf{1}$ logaritmi on aina $ \mathsf{0}$, sillä mikä tahansa luku (≠0) korotettuna eksponenttin $ \mathsf{0}$ on 1.

$\displaystyle \mathsf{\log_a 1=0}$

Logaritmifunktion $ \mathsf{f(x)=\log_a x}$ kuvaaja kulkee siis pisteen $ \mathsf{(1,0)}$ kautta.

c) Määritelmästä seuraa lisäksi suoraan, että

$\displaystyle \mathsf{a^{\log_a x}=x}$

Esimerkki 2    Lasketaan

$\displaystyle \mathsf{a) \log_3 9, \ \ \ \ \ b) 2^{1+\log_2 2}}$


a) Logaritmin määritelmän perusteella

$\displaystyle \mathsf{\log_3 9 = \log_3 3^3 = 3}$

b) Potenssien laskusäännön ja logaritmin määritelmän perusteella

$\displaystyle \mathsf{2^{1+\log_2 2}= 2^1 \cdot 2^{\log_2 2} = 2\cdot 2 =4 }$

Esimerkki 3    Lasketaan logaritmin

$\displaystyle \mathsf{\log_8 \sqrt{2} }$
arvo 2-kantajärjestelmässä.

Ratkaisu:

Esimerkki 4    Piirretään logaritmifunktion

$\displaystyle \mathsf{f(x)=-\log_{10} (2-x)}$

kuvaaja.

Tutkitaan mikä on funktion määrittelyjoukko. Numerus on positiivinen, kun

$\displaystyle \mathsf{2-x>0\Rightarrow x<2}$

Määrittelyjoukko on siis $ \mathsf{]-\infty, 2[}$ ja pystysuorana asymptoottina on suora

$\displaystyle \mathsf{x=2}$

Piirretään asymptootti koordinaatistoon.



Selvitetään x-akselin ja kuvaajan leikkauskohta yhtälöstä $ \mathsf{f(x)=0}$.

$\displaystyle \mathsf{-\log_{10}(2-x)=0}$

$\displaystyle 2-x=10^0$

$\displaystyle x=1$

Merkitään leikkauskohta koordinaatistoon.



Ratkaistaan y-akselin leikkauskohta merkitsemällä $ \mathsf{x=0}$.

$\displaystyle \mathsf{f(0)=-\log_{10}(2-0)=-\log_{10}(2)\approx 0,301}$

Merkitään leikkauskohta koordinaatistoon.



Lasketaan joitakin funktion arvoja.

$\displaystyle \mathsf{f(1\frac{1}{2})\approx 3.001}$

$\displaystyle \mathsf{f(\frac{1}{2})\approx -0.176}$

Merkitään vastaavat pisteet koordinaatistoon.



Piirretään kuvaaja pisteiden ja asymptootin avulla.



PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Juurifunktio
Juuriyhtälöt
Juurifunktion derivaatta
Eksponenttifunktio
Eksponenttiyhtälöt
Eksponenttifunktion derivaatta
Logaritmifunktio
Esimerkit
Tehtävät
Logaritmiyhtälöt
Logaritmifunktion derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktio
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet