Ratkaisu tehtävään 4    Tuottofunktio on määrittelyalueessaan derivoituva ja siis myös jatkuva. Koska $ \mathsf{T(0)=0}$, suurin arvo löytyy mahdollisesti derivaatan nollakohdista. Lasketaan siis tuottofunktion derivaatta osamäärän derivaatan avulla. Derivaataksi tulee

$\displaystyle \mathsf{T'(x)=\frac{\frac{1}{x+1}\cdot 2\sqrt{x+1}- \frac{1}{\sqrt{x+1}\cdot \ln (x+1)} }{4(x+1)} }$

Tämä merkitään nollaksi, jolloin

$\displaystyle \mathsf{\frac{2\sqrt{x+1}}{x+1}-\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x+1}}=0 }$

Lavennetaan ensimmäistä osamäärää lausekkeella $ \mathsf{\sqrt{x+1} }$ ja supistetaan lausekkeella $ \mathsf{x+1}$. Nyt saadaan yhtälö

$\displaystyle \mathsf{2-\ln(x+1)=0}$

$\displaystyle \mathsf{\ln(x+1)=2}$

Logaritmin määritelmän mukaan

$\displaystyle \mathsf{x+1=e^2}$

$\displaystyle \mathsf{x=e^2-1\approx 6,39}$

Derivaatan merkkitaulukosta havaitaan, että saatu ratkaisu tuottaa paikallisen maksimin ja samalla suurimman arvon koko määrittelyalueessa.

Suurin liikevoitto on

$\displaystyle \mathsf{T_{max}=T(e^2-1)=\frac{\ln e^2}{2\sqrt{e^2}}=\frac{2\ln e}{2e}=\frac{1}{e}\approx 0,367879}$

Yksiköt huomioon ottaen liikevoitto on $ \mathsf{36787,9}$ euroa.

Lasketaan 90% voitosta. Tämä on $ \mathsf{33109,11}$ euroa. Jälkimmäisen kysymyksen perusteella saadaan yhtälö

$\displaystyle \mathsf{\frac{\ln(x+1)}{2\sqrt{x+1}}=0,3310911}$

Tämä yhtälö ei ratkea tavanomaisen keinoin, joten piirretään laskimella funktion $ \mathsf{T(x)}$ kuvaaja ja Trace-toiminnon avulla etsitään sellainen $ \mathsf{x}$:n arvo, joka tuottaa $ \mathsf{T}$:lle arvon $ \mathsf{0,33109}$. Tulokseksi saadaan $ \mathsf{20,4}$ vuotta.

Suurin liikevoitto on $ \mathsf{36787,9}$ euroa ja se saavutetaan $ \mathsf{6,39}$ vuoden eli 6 vuoden ja 5 kuukauden kuluttua toiminnan aloittamisesta. 90 % liikevoiton suurimmasta arvosta saavutetaan 3 v 5 kk kuluttua tai 20 v 5 kk kuluttua.