ETÄLUKIO - PITKÄ MATEMATIIKKA - Juuri- ja logaritmifunktiot (maa8)


	8:		Juuri- ja logaritmifunktiot

Juurifunktio

Ensimmäisessä kurssissa on esitelty potenssifunktio, joka on muotoa

$\displaystyle \mathsf{f(x)=x^n}$

Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi neliön alaa sivun pituuden $\mathsf{x}$ funktiona kuvaava funktio

$\displaystyle \mathsf{A(x)=x^2}$

ja kuution tilavuutta särmän pituuden $\mathsf{s}$ funktiona kuvaava funktio

$\displaystyle \mathsf{V(x)=s^3}$

Ohessa on muistin virkistämiseksi mainittujen funktioden kuvaajat piirrettynä myös negatiivisilla arvoilla, vaikka sivun ja särmän pituus ei todellisuudessa voi olla negatiivinen.


a) neliön ala sivun pituuden funktiona	b) kuution tilavuus särmän pituuden funktiona

Voimme muodostaa vastaavat juurifunktiot, jotka esittävät neliön sivun pituuden ja kuution särmän pituuden riippuvuutta vastaavasta pinta-alasta ja tilavuudesta.

$\displaystyle \mathsf{x=f(A)=\sqrt{A}}$

$\displaystyle \mathsf{s=f(V)=\sqrt[\mathsf{3}]{\mathsf{V}}}$

Näiden kuvaajat muistuttavat potenssifunktioiden kuvaajia.


a) neliön sivun pituus alan funktiona	b) kuution särmän pituus tilavuuden funktiona

Yleisesti määritellään postiivisille kokonaisluvuille $\mathsf{\left( n \; \in \; N^* \right) }$ , kun $\mathsf{n}$ on pariton

$\displaystyle \mathsf{\sqrt[\mathsf{n}]{\mathsf{a}}=x\Rightarrow x^n=a,\; a \; \in \; R}$

ja $\mathsf{n}$ :n ollessa parillinen

$\displaystyle \mathsf{\sqrt[\mathsf{n}]{\mathsf{a}}=x\Rightarrow \left( x^n=a \wedge x \geq 0 \right) , \; a \; \in \; R \wedge a \geq 0}$

Parillisen juuren tapauksessa täytyy kiinnittää erityistä huomiota määrittelyjoukkoon, koska juuri on määritelty vain juurrettavan positiivisilla arvoilla. Yleinen juurifunktio on edellisen perusteella muotoa

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\sqrt[\mathsf{n}]{\mathsf{x}}}$

Ensimmäisen kurssin perusteella muistamme, että juuri voidaan kirjoittaa myös ns. murtopotenssimuodossa.

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\sqrt[\mathsf{n}]{\mathsf{x}}=x^{\frac{1}{n}}}$

Oheinen kuvaaja havainnollistaa juurifunktioden riippuvuutta juuren indeksistä $\mathsf{n}$ . Erikoistapaukset $\mathsf{n=0}$ (vakiofunktio) ja $\mathsf{n=1}$ (funktio $\mathsf{f(x)=x}$ ) on jätetty esittämättä. Voit muuttaa indeksin arvoa hiirtä napauttamalla. Tärkeä havainto on, että juurifunktiot ovat määrittelyalueellaan aidosti kasvavia.

Juuren indeksi: 2 3 4 5 10 11 100 101

Varmista, että osaat laskea yleisen juuren arvon laskimellasi. Jos käytössäsi on graafinen laskin, perehdy kuinka sillä piirretään juurifunktion kuvaajat. Toimi samoin myös seuraavissa osioissa esiteltävien funktioiden kanssa.