8: Juuri- ja logaritmifunktiot
Yhdistetyn funktion derivaatta

Kahdesta funktiosta voidaan muodostaa yhdistetty funktio. Tällainen funktio suorittaa alkuperäisten funktioiden määräämät laskutoimitukset peräkkäin. Ensimmäisen funktion arvoa käytetään jälkimmäisen funktion arvon määrittämiseen. Asiaa valaisee oheinen kuvio.


Funktio $ \mathsf{f}$ muodostaa joukosta $ \mathsf{A}$ uuden joukon $ \mathsf{B}$, josta funktio $ \mathsf{g}$ puolestaan muodostaa joukon $ \mathsf{C}$. Näin saadaan yhdistetyn funktion $ \mathsf{g \circ f}$ ("g pallo f") arvo laskettua mille tahansa joukon $ \mathsf{A}$ alkiolle.

Yhdistetty funktio kirjoitetaan usein muodossa

$\displaystyle \mathsf{(g \circ f)(x) = g(f(x))}$

Funktiota $ \mathsf{f}$ sanotaan sisäfunktioksi ja funktiota $ \mathsf{g}$ ulkofunktioksi. Yhdistetyn funktion arvon määrittämiseksi lasketaan siis ensin sisäfunktion arvo halutussa kohdassa ja tätä arvoa käyttäen ulkofunktion arvo.

Yhdistetyn funktion derivaatta

Yhdistetyn funktion derivaatalle on voimassa seuraava derivoimiskaava

$\displaystyle \mathsf{D g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x)}$

Sanallisesti: yhdistetyn funktion derivaatta on ulkofunktion derivaatan ja sisäfunktion derivaatan tulo. Tätä kutsutaan myös derivoinnin ketjusäännöksi.

Ketjusääntöön päädytään tarkastelemalla derivoituvista funktioista muodostetun yhdistetyn funktion $ \mathsf{g(f(x))}$ erotusosamäärää

$\displaystyle \mathsf{\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}=\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{f(x+h)-f(x)}\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h} }$

Havaitaan, että tulomuodossa jälkimmäisen tekijän raja-arvo, kun $ \mathsf{h\longrightarrow 0}$, on funktion $ \mathsf{f}$ derivaatta kohdassa $ \mathsf{x}$. Ensimmäinen tekijä on puolestaan funktion $ \mathsf{g}$ erotusosamäärä kohdasta $ \mathsf{f(x)}$ kohtaan $ \mathsf{f(x+h)}$. Kun $ \mathsf{h\longrightarrow 0}$, niin $ \mathsf{f(x+h)\longrightarrow f(x)}$. Tulon ensimmäisen tekijän raja-arvo on siis $ \mathsf{g'(f(x))}$. Edellisen perusteella ketjusääntö on voimassa.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Juurifunktio
Juuriyhtälöt
Juurifunktion derivaatta
Eksponenttifunktio
Eksponenttiyhtälöt
Eksponenttifunktion derivaatta
Logaritmifunktio
Logaritmiyhtälöt
Logaritmifunktion derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Esimerkit
Tehtävät
Käänteisfunktio
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet