8: Juuri- ja logaritmifunktiot
Käänteisfunktio

Funktio muodostaa yhteyden kahden joukon välille. Jos funktion $ \mathsf{f}$ määrittelyjoukko on $ \mathsf{A}$ ja arvojoukko $ \mathsf{B}$, voidaan funktiota havainnollistaa oheisella kuvalla.


Funktio saa syötteenään arvon joukosta $ \mathsf{A}$ ja antaa tuloksena arvon joukosta $ \mathsf{B}$. Joillakin funktioilla vallitsee tilanne, jossa jokaista joukon $ \mathsf{B}$ alkiota vastaa täsmälleen yksi joukon $ \mathsf{A}$ alkio siten, että $ \mathsf{y=f(x)}$. Tällaiset funktiot ovat ns. bijektioita. Tällöin on olemassa funktiota $ \mathsf{f}$ vastaava funktio $ \mathsf{f^{-1}}$, jota kutsutaan funktion $ \mathsf{f}$ käänteisfunktioksi. Oheinen kuva valaisee tilannetta.


Täsmällisesti määrittelemme käänteisfunktion toteamalla, että funktion

$\displaystyle \mathsf{f:A\longrightarrow B: y=f(x)}$

käänteisfunktio on

$\displaystyle \mathsf{f^{-1}:B\longrightarrow A: x=f^{-1}(y)}$

Käänteisfunktiota muodostettaessa vaihtavat muuttujan ja funktion arvo paikkaa keskenään, kuten määrittely- ja arvojoukkokin. Graafisessa tarkastelussa alkuperäisen funktion pistettä $ \mathsf{(a,b)}$ vastaa käänteisfunktion piste $ \mathsf{(b,a)}$. Kuvaaja peilautuu siis suoran $ \mathsf{x=y}$ suhteen. Oheinen kuva havainnollistaa tilannetta.


Todistamatta todetaan lisäksi, että kaikilla aidosti monotonisilla funktioilla on olemassa käänteisfunktio eli ne ovat bijektioita. Huomaa, että lukuisilla funktioilla ei ole olemassa käänteisfunktiota!

Aimmin esitellyillä funktioilla on ollut ilmeisiä yhteyksiä keskenään. Tämä johtuu siitä, että ne ovat olleet toistensa käänteisfunktioita. Havaitaan, että määrittelyalueilla pätee

$\displaystyle \mathsf{f(x)=x^a \Leftrightarrow f^{-1}(x)=\sqrt[\mathsf{a}]{\mathsf{x}}}$

$\displaystyle \mathsf{f(x)=a^x \Leftrightarrow f^{-1}(x)=\log_a x}$

Aiemmin tutut aidosti monotoniset funktiot ovat siis toistensa käänteisfunktioita. Potenssifunktion käänteisfunktio on juurifunktio ja eksponenttifunktion käänteisfunktio on logaritmifunktio.

*Käänteisfunktion derivaatta

Mainitaan lisäksi ilman todistusta, että käänteisfunktion derivaatalle on voimassa seuraava kaava

$\displaystyle \mathsf{(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\ \ \ \ \ y_0=f(x_0)}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Juurifunktio
Juuriyhtälöt
Juurifunktion derivaatta
Eksponenttifunktio
Eksponenttiyhtälöt
Eksponenttifunktion derivaatta
Logaritmifunktio
Logaritmiyhtälöt
Logaritmifunktion derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktio
Esimerkit
Tehtävät
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet