ETÄLUKIO - PITKÄ MATEMATIIKKA - Juuri- ja logaritmifunktiot (maa8)


	8:		Juuri- ja logaritmifunktiot

Soveltavat tehtävät

Tähän osioon on koottu joitakin aiemmin opittua yhdisteleviä ja soveltavia tehtäviä ratkaisuineen.

Tehtävä 1 Eräässä mikrobiologian laboratorion järjestämässä kokeessa on mikrobien määrä $\mathsf{N}$ laskettavissa funktiolla

$\displaystyle \mathsf{N=400(t+1)\cdot e^{-0,26t}, \ \ \ t\geq 0 }$

missä $\mathsf{t}$ on aika vuorokausina viljelyn aloittamisesta. Laske tunnin tarkkuudella, minkä ajan kuluttua kokeen aloittamisesta määrä on suurimmillaan.

Tehtävä 2 Eräs luonnontieteellinen ilmiö on mallinnettavissa funktiolla

$\displaystyle \mathsf{L(x)=Ae^{2x}+Be^{-2x}, \ \ \ x\geq 0}$

missä $\mathsf{x}$ on havaintoaika viikkoina. Koetta aloitettaessa $\mathsf{L}$ :n arvo on $\mathsf{1}$ ja muutosnopeutta kuvaavan funktion $\mathsf{L'}$ arvo on $\mathsf{4}$ . Laske $\mathsf{L}$ :n 3-desimaalinen likiarvo neljän viikon kuluttua.

Tehtävä 3 Erään eliölajin $\mathsf{\alpha}$ populaatiota kuvaa funktio

$\displaystyle \mathsf{L(x)=e^x-1}$

ja erään toisen eliölajin $\mathsf{\beta}$ populaatiota funktio

$\displaystyle \mathsf{K(x)=x+\frac{x^2}{2}}$

Osoita, että $\mathsf{\alpha}$ :n populaatio on aina suurempi kuin $\mathsf{\beta}$ :n populaatio, kun x > 0.

Tehtävä 4 Erään yrityksen liikevoitto voitiin mallintaa tuottofunktiolla

$\displaystyle \mathsf{T(x)=\frac{\ln (x+1)}{2\sqrt{x+1}}, \ \ \ x\geq 0 }$

missä $\mathsf{x}$ on aika vuosina ja $\mathsf{T}$ saatu voitto (yksikkönä 100000 euroa). Laske kuukauden tarkkuudella aika, jonka kuluttua liiketoiminnan aloittamisesta yritys oli "huipulla" eli liikevoitto suurimmillaan. Minkä ajan kuluttua aloittamisesta voitto oli 90 % parhaan ajan voitosta?

Tehtävä 5 Eero Saarisen suunnittelema, Saint Lousissa sijaitseva teräksinen kaariportti (Gateway Arch) on muodoltaan likimain käyrän

$\displaystyle \mathsf{f(x)=8-e^x-e^{-x}}$

muotoinen, kun yksikkönä on 32 metriä. Määritä portin suurin korkeus ja suurin leveys desimetrin tarkkuudella.

Tehtävä 6 Talousmatematiikassa määritellään funktiolle $\mathsf{y=f(x)}$ joustofunktio

$\displaystyle \mathsf{E_{xy}=\frac{f'(x)}{f(x)}\cdot x}$

Mikäli jouston itseisarvo on pienempi kuin 1 sanotaan funktiota alijoustavaksi ja tätä suuremmilla itseisarvoilla ylijoustavaksi. Millä muuttujan $\mathsf{x}$ arvoilla funktio

$\displaystyle \mathsf{f(x)=xe^x, \ \ \ x\geq 0}$