8: Juuri- ja logaritmifunktiot
Juuriyhtälöt ja epäyhtälöt

Juuriyhtälö ja -epäyhtälö ovat yhtälöitä, joissa esiintyy yksi tai useampia juurilausekkeita. Näiden ratkaiseminen perustuu juurifunktion ominaisuuksiin. Aluksi on otettava huomioon yhtälössä esiintyvien lausekkeiden määrittelyjoukko. Vain tähän joukkoon kuuluvat ratkaisut tulevat lopulta kysymykseen. Varsinaisen ratkaisun ideana on poistaa juurilausekkeet yhtälöstä ja ratkaista näin syntyvä uusi yhtälö aiemmin opituilla tavoilla.

Juuriyhtälön ratkaiseminen onnistuu seuraavasti:

Juuriyhtälön ratkaiseminen

1. Selvitetään yhtälössä esiintyvien lausekkeiden määrittelyjoukko.

2. Järjestetään yhtälö muotoon, jossa yksi juurilauseke on yhtälön vasemmalla ja muut termit oikealla puolella.

3. Asetetaan tarvittaessa ehto potenssiin korottamiselle. Parillisen juuren tapauksessa juurta vastaavan lausekkeen on oltava positiivinen. Tämä ehto rajoittaa ratkaisujen määrää määrittelyjoukon ohella.

4. Korotetaan yhtälö puolittain juurta vastaavaan potenssiin. Tämä on mahdollista, koska juurifunktio on aidosti monotoninen.

5. Mikäli juurilausekkeita esiintyy yhtälössä edelleen, toistetaan aiemmat vaiheet.

6. Ratkaistaan jäljelle jäänyt yhtälö, kuten aiemmin on opittu.

Huom: Vaiheessa 2 saatetaan päätyä identtiseen yhtälöön, joka on aina tosi tai epätosi. Tällöin yhtälön ratkaiseminen päättyy tähän vaiheeseen. Ratkaisuna on koko määrittelyjoukko, jos yhtälö on identtisesti tosi. Identtisesti epätodella yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisua.

Yhtälöissä, joissa on useampia juurilausekkeita, kannattaa pohtia missä järjestyksessä juuret on kätevintä poistaa.

Epäyhtälöä ratkaistaessa menetellään samoin kuin edellä on esitetty. Korotettaessa hyödynnetään tietoa juurifunktion aidosta monotonisuudesta. Parillisen juuren tapauksessa täytyy huomata muotoa $ \mathsf{ \sqrt[\mathsf{n}]{\mathsf{\;\;}}>a }$ olevien yhtälöiden kohdalla, että yhtälö toteutuu kaikilla arvoilla $ \mathsf{a<0}$, sillä juuri on aina positiivinen. Viimeisessä vaiheessa saatetaan yhtälö muotoon, jossa oikealla puolella on 0. Tämän jälkeen laaditaan merkkikaavio, jonka avulla ratkaisu voidaan muodostaa.

Voidaan myös menetellä siten, että määrittely- ja potenssiin korotusehtoja ei aseteta. Tällöin juurten tarkistaminen alkuperäiseen yhtälöön sijoittamalla on välttämätöntä, sillä kun yhtälö korotetaan puolittain potenssiin, ei syntyvä yhtälö välttämättä vastaa alkuperäistä. Alkuperäisen yhtälön lausekkeiden on tietysti myös oltava määriteltyjä. Edellä esitetty ratkaisutapa on kuitenkin suositeltavampi.

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Juurifunktio
Juuriyhtälöt
Esimerkit
Tehtävät
Juurifunktion derivaatta
Eksponenttifunktio
Eksponenttiyhtälöt
Eksponenttifunktion derivaatta
Logaritmifunktio
Logaritmiyhtälöt
Logaritmifunktion derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktio
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet