8: Juuri- ja logaritmifunktiot
Eksponenttifunktio

Palautetaan aluksi mieleen eksponenttifunktion määritelmä ja keskeiset ominaisuudet. Eksponenttifunktioksi kutsutaan funktiota, joka on muotoa

$\displaystyle \mathsf{f(x)=a^x,\ a>0,\ a\neq 1}$

Tällainen funktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla $ \mathsf{x\in \mathbb{R}}$ ja se saa kaikki positiiviset arvot täsmälleen yhden kerran eli funktio on aidosti monotoninen. Arvoilla $ \mathsf{a>1}$ funktio on aidosti kasvava ja arvoilla $ \mathsf{0<a<1}$ aidosti vähenevä. Kuvaajat kulkevat molemmissa tapauksissa pisteen $ \mathsf{(0,1)}$ kautta. Oheiset kuvat valaisevat tilannetta. Havaitaan, että molemmat funktiot lähestyvät asymptoottisesti x-akselia.

kuvaaja12 kuvaaja11
a) eksponenttifunktio a>1 b) eksponenttifunktio 0 < a < 1

Eksponenttifunktiota käytetään useissa matemaattisissa malleissa, joissa tiettyä yksikköä vastaava muutosnopeus on vakio. Tällaisilla eksponenttiaalisen muutoksen malleilla voidaan kuvata esimerkiksi radioaktiivisen aineen hajoamista, koron kertymistä korkolle ja väestönkasvua.

Varmista jatkoa varten, että hallitset potenssien laskusäännöt, jotka on harjoiteltu ensimmäisessä kurssissa.

Irrationaaliluku $ \mathsf{e}$

Neperin luvulla $ \mathsf{e\approx2,71828}$ on erityinen merkitys matematiikassa. Se esiintyy usein mm. edellä mainittujen matemaattisten mallien yhteydessä. Lukua käytetään usein eksponenttifunktion kantalukuna ja se myös luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku. Tähän palataan myöhemmin logaritmeja käsittelevässä osiossa.

Voit laskea eksponenttifunktion $ \mathsf{f(x)=e^x}$ kätevästi laskimella näppäilemällä $ \mathsf{e^x}$. Neperin luvun likiarvon saat valitsemalla eksponentiksi luvun 1.

Luku $ \mathsf{e}$ voidaan määritellä raja-arvona

$\displaystyle \mathsf{\lim_{m\longrightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^m}$

ja funktiolle $ \mathsf{f(x)=e^x}$ on olemassa sarjakehitelmä

$\displaystyle \mathsf{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...}$

Eksponenttifunktion piirtäminen

Yleisemmässä muodossa annetun eksponenttifunktion

$\displaystyle \mathsf{f(x)=a^x \pm b,\ a>0,\ a\neq 1}$

kuvaajan piirtäminen tapahtuu seuraavasti.

Eksponenttifunktion piirtäminen

1. Piirretään vaakasuora asymptootti funktion lausekkeessa olevan vakion määräämään kohtaan. Asymptoottina on siis suora $ \mathsf{y=\pm b}$. Huomaa, että asymptootti ei ole funktion kuvaaja, vaan apuväline sen piirtämiseen.

2. Lasketaan funktion kuvaajan ja y-akselin leikkauskohta $ \mathsf{(0,f(0))}$ ja merkitään se koordinaatistoon.

3. Määritetään funktion kuvaajan ja x-akselin leikkauskohta ratkaisemalla yhtälö $ \mathsf{f(x)=0}$.

4. Lasketaan joitakin muita funktion arvoja sopivissa pisteissä.

5. Piirretään kuvaaja pisteiden ja asymptootin avulla.

Yhtälön $ \mathsf{f(x)=0}$ ratkaisemista vaiheessa 3 käsitellään enemmän myöhemmin. Todetaan tässä ratkaisun perustuvan siihen, että lausekkeet $ \mathsf{a^{x_1}}$ ja $ \mathsf{a^{x_2}}$ ovat yhtäsuuret vain, kun $ \mathsf{x_1=x_2}$.

Alla oleva kuvaaja havainnollistaa eksponenttifunktion

$\displaystyle \mathsf{f(x)=a^x,\ a>0,\ a\neq 1}$

riippuvuutta kantaluvusta. Voit muuttaa kantaluvun arvoa hiirtä napauttamalla.

Kantaluku:   0,01   0,1   0,5   2   10   100 
PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Juurifunktio
Juuriyhtälöt
Juurifunktion derivaatta
Eksponenttifunktio
Esimerkit
Tehtävät
Eksponenttiyhtälöt
Eksponenttifunktion derivaatta
Logaritmifunktio
Logaritmiyhtälöt
Logaritmifunktion derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktio
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet