8: Juuri- ja logaritmifunktiot
Eksponenttifunktion derivaatta (kantalukuna $ \mathsf{e}$)

Ennen yleisen eksponenttifunktion derivoimiskaavaa tutkitaan funktion

$\displaystyle \mathsf{f(x)=e^x}$

derivaattaa derivaatan määritelmän avulla. Funktion derivaatta määriteltiin raja-arvona

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Saamme siis

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}}$

$\displaystyle \mathsf{=\lim_{h \to 0} \frac{e^x \left( e^h-1 \right)}{h}}$

Koska lausekkeen $ \mathsf{e^x}$ arvo ei riipu arvosta $ \mathsf{h}$, voimme raja-arvon laskusääntöjen mukaisesti kirjoittaa

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{ e^h-1}{h}}$

Voimme nyt tutkia lausekkeen $ \mathsf{\frac{ e^h-1}{h}}$ arvoja kohdan $ \mathsf{h=0}$ läheisyydessä oheisen taulukon avulla.

0,01 1,05171 -0,1 0,95163
0,001 1,00502 -0,001 0,99950
0,0001 1,00005 -0,0001 0,99995
0,00001 1,00000 -0,00001 0,99999

Taulukkoon on laskettu lausekkeen arvoja kohdan $ \mathsf{h=0}$ molemmin puolin ja tämän perusteella rohkenemme todeta, että lausekkeen arvo lähestyy arvoa $ \mathsf{1}$, kun $ \mathsf{h\longrightarrow 0}$. Voimme siis nyt kirjoittaa derivaatalle

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{ e^h-1}{h}= e^x\cdot 1 = e^x}$

Toteamme, että eksponenttifunktion derivaatalle on kantaluvun arvolla $ \mathsf{e}$ voimassa

$\displaystyle \mathsf{f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)=e^x}$

Yleisen eksponenttifunktion derivaatta

Yleisen eksponenttifunktion derivaatta saadaan edellä esitetyn $ \mathsf{e}$-kantaisen eksponenttifunktion derivoimiskaavan avulla. Yleinen kaava on muotoa

$\displaystyle \mathsf{D a^x = a^x \cdot \ln a}$

Kaavassa esiintyvä funktio $ \mathsf{\ln}$ on ns. luonnollinen logaritmifunktio, jonka ominaisuuksiin perehdytään seuraavissa luvuissa tarkemmin. Voit halutessasi vilkaista logritmifunktion määritelmän seuraavasta osiosta. Tässä vaiheessa kuitenkin riittää, että osaat hyödyntää kaavaa suoraan. Logarimifunktion $ \mathsf{\ln}$ arvon saat laskimestasi vastaavalla näppäimellä. Voit kokeeksi laskea $ \mathsf{\ln (2)\approx 0,693}$.

Seuraavaksi esitetään perustelut yleisen eksponenttifunktion derivaatalle. Tämän ymmärtäminen edellyttää kuitenkin logaritmifunktion ja yhdistetyn funktion derivaatan tuntemista, joten voit siirtyä tutkimaan esimerkkejä ja palata tähän myöhemmin.

Yleisen eksponenttifunktion

$\displaystyle \mathsf{f(x)=a^x, \ \ (a>0, \ a\neq 1)}$

derivaatta saadaan kirjoittamalla ensin funktio uuteen muotoon logaritmin määritelmän avulla seuraavasti

$\displaystyle \mathsf{f(x)=a^x=\left( e^{\ln a} \right)^x=e^{x\cdot \ln a}}$

Nyt voidaan laskea derivaatta yhdistetyn funktion derivoimissäännöllä

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=e^{x\cdot \ln a} \cdot \ln a=a^x\cdot \ln a}$

Eksponenttifunktiolle on siis joukossa $ \mathsf{(a>0, a\neq 1)}$ voimassa derivoimiskaava

$\displaystyle \mathsf{f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x \cdot \ln a}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Juurifunktio
Juuriyhtälöt
Juurifunktion derivaatta
Eksponenttifunktio
Eksponenttiyhtälöt
Eksponenttifunktion derivaatta
Esimerkit
Tehtävät
Logaritmifunktio
Logaritmiyhtälöt
Logaritmifunktion derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktio
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet