ETÄLUKIO - PITKÄ MATEMATIIKKA - Juuri- ja logaritmifunktiot (maa8)


	8:		Juuri- ja logaritmifunktiot

Logaritmifunktion derivaatta

Logaritmifunktion derivaatalle pätee määrittelyjoukossa $\mathsf{x>0}$ derivoimiskaava

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\log_a x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} \log_a e}$

Kaava voidaan esittää myös muodossa

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\log_a x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x \ln a}}$

Luonnolliselle logaritmille saadaan erityisesti

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\ln x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}}$

Logaritmifunktion yleinen derivoimiskaava voidaan todistaa seuraavasti. Derivaatan määritelmän perusteella logaritmifunktion derivaatta on muotoa

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{\log_ a (x+h) + \log_a x}{h}}$

Logaritmien laskusäännöillä ja supistamalla saadaan

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{h} \log_ a \left( \frac{x+h}{x} \right)}$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{h} \log_ a \left( 1+ \frac{h}{x} \right)}$

Nyt havaitaan, että kiinteällä arvolla $\mathsf{x}$ lähestyy lauseke $\mathsf{\left\vert \frac{x}{h} \right\vert}$ ääretöntä, kun $\mathsf{h\longrightarrow 0}$ . Voimme hyödyntää aiemmin mainittua neperin luvun raja-arvoesitystä

$\displaystyle \mathsf{\lim_{m\longrightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^m}$

Edellisen perusteella saadaan

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{h} \log_ a \left( 1+ \frac{h}{x} \right)}$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{x} \log_ a \left( 1+ \frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}}}$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\frac{1}{x} \lim_{h\longrightarrow 0} \log_ a \left( 1+ \frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} }$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\frac{1}{x} \log_a e}$

Juurifunktion derivaatta

Eksponenttifunktio

Eksponenttiyhtälöt

Eksponenttifunktion derivaatta

Logaritmifunktio

Logaritmiyhtälöt

Logaritmifunktion derivaatta

Esimerkit

Tehtävät

Yhdistetyn funktion derivaatta