8: Juuri- ja logaritmifunktiot
Logaritmifunktion derivaatta

Logaritmifunktion derivaatalle pätee määrittelyjoukossa $ \mathsf{x>0}$ derivoimiskaava

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\log_a x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} \log_a e}$

Kaava voidaan esittää myös muodossa

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\log_a x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x \ln a}}$

Luonnolliselle logaritmille saadaan erityisesti

$\displaystyle \mathsf{f(x)=\ln x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}}$

Logaritmifunktion yleinen derivoimiskaava voidaan todistaa seuraavasti. Derivaatan määritelmän perusteella logaritmifunktion derivaatta on muotoa

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{\log_ a (x+h) + \log_a x}{h}}$

Logaritmien laskusäännöillä ja supistamalla saadaan

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{h} \log_ a \left( \frac{x+h}{x} \right)}$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{h} \log_ a \left( 1+ \frac{h}{x} \right)}$

Nyt havaitaan, että kiinteällä arvolla $ \mathsf{x}$ lähestyy lauseke $ \mathsf{\left\vert \frac{x}{h} \right\vert}$ ääretöntä, kun $ \mathsf{h\longrightarrow 0}$. Voimme hyödyntää aiemmin mainittua neperin luvun raja-arvoesitystä

$\displaystyle \mathsf{\lim_{m\longrightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^m}$

Edellisen perusteella saadaan

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{h} \log_ a \left( 1+ \frac{h}{x} \right)}$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\lim_{h\longrightarrow 0} \frac{1}{x} \log_ a \left( 1+ \frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}}}$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\frac{1}{x} \lim_{h\longrightarrow 0} \log_ a \left( 1+ \frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} }$

$\displaystyle \mathsf{f'(x)=\frac{1}{x} \log_a e}$

PITKÄ MATEMATIIKKA
Kurssin etusivu
Juurifunktio
Juuriyhtälöt
Juurifunktion derivaatta
Eksponenttifunktio
Eksponenttiyhtälöt
Eksponenttifunktion derivaatta
Logaritmifunktio
Logaritmiyhtälöt
Logaritmifunktion derivaatta
Esimerkit
Tehtävät
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktio
Soveltavat tehtävät
Harjoituskoe
Sivukartta
OpetushallitusEtälukio KäyttöehdotOhjeet